磁场
【知识点】 1、磁感应强度B
定义 磁感应强度可以采用如下三种定义方式：
（1） B的方向垂直于正电荷所受最大磁力的方向与电荷运动方向组成的平面，并满足右旋关系，即F?qv?B.当v垂直于B时，电荷所受磁力最大(Fm),B的大小等于单位试探电荷以单位速率运动时所受的最大磁力，即B?Fm/qv，如图（a）所示. （2）B的方向垂直于电流元所受最大磁力的方向与电流元方向
Fm Bvq（a）
??组成的平面，并满足右旋关系，即dF?Idl?B.当dl垂直于B时，电流元的受磁力最大，B的大小等于单位电流元所受的最大磁力，即B?Fm/Idl，如图（b）所示.
（3）B的方向垂直于线圈所受最大力矩的方向与磁矩方向所组成
Fm BIdl （b）
M B 的平面，并满足右旋关系，即M?m?B，当m垂直于B时，线圈
m 所受力矩最大（Mm），B的大小等于单位磁矩所受的最大力矩，即B?Mm/m，如图（c）所示.
2、磁场中的高斯定理
表述 在磁场中通过任意封闭曲面的磁通量恒为零，即
?m?B?dS?0
S（c）
?同静电场中引入电场线一样，磁场中可以引入磁感应线(B线)，并规定它在某点的切线方向表示该处B的方向，垂直穿过某点附近单位面积磁感应线的条数为B的大小．通过某一有限面S的磁通量可表示为
?m?B?dS?Bcos?dS
SS??3、毕奥-萨伐尔定律
表述 如图（a）所示，电流元Idl在距它为r的场点P处产生的磁感应强度dB为
??
????0Idl?r dB?
4?r3毕奥-萨伐尔定律仅对线电流元的空间适用，即电流通过的横截面的线度远小于其到待求场点的距离，所以不存在
dB
Idl P
r?0时dB??的困惑。对于任意形状的载流导线，均
可利用毕奥-萨伐尔定律及场的叠加原理求其磁场，满足磁场的叠加原理，即 B?dB，dB为各电流元单独在待求
L?图 （a） 场点产生的磁场。
4、几种典型电流分布的磁场
（1）一段直导线外任一点的磁场(图a)为
I ?I?I B?0(cos?1?cos?2)?0(sin?2?sin?1)
4?a4?a（2）一段载流圆弧在圆心处的磁场（图b）为 B?dl l ?2? r ?0I2R?? 2?利用磁场的叠加原理，由直导线和圆弧构成的载流导线的磁场可直接利用上面结论叠加而成． （3）运动电荷所激发的磁场为 B??2 dB
?O aP ?1 ?1图 a
?0qv?r
4?r3若
q?0，B的方向与v?r的方向相同，q?0，B的方向与v?r的方向相反，如图
（c）所示.
? BRv ? B
?r I+q 图 c
r_ q ? B v
图 b
5、磁场强度H
定义在磁介质中，定义磁场强度为 H?
B?0?M
式中，M为磁化强度，定义为磁介质中单位体积内分子磁矩的矢量和，在各向同性的磁介质中，有如下关系
M?(?r?1)H??mH
式中，?m为磁介质的磁化率，?r为磁介质的相对磁导率，这时磁感应强度B和磁场强度H之间有关系式
H?式中，
B?
???0?r为介质的磁导率，磁场强度和磁化强度的单位都是A?m?1。
6、安培环路定理
表述 在磁场中，磁场强度H对任一闭合曲线的积分等于该闭合曲线所包围的传导电流的代数和，即
H?dl?L?(L内)?Ii
定理中
(L内)?Ii为闭合回路L所包围的传导电流代数和.其中，电流的正负可由回路的方向
确定，规定与回路构成右手螺旋的电流为正，反之为负． 7、安培定律
表述 电流元Idl在外磁场B中所受的磁力dF称为安培力，安培力的表示式为 dF?Idl?B
根据力的叠加原理，有限长载流导线在磁场中所受的安培力为F?Idl?B，
L?安培力F为各电流元所受的安培力dF的矢量和。 7、洛伦兹力
定义 运动电荷在磁场中所受到的磁力称为洛伦兹力，当粒子带电为q，在磁场B中以速度v运动时，所受磁力的表达式为
f?qv?B
f恒与速度v垂直，即只提供法向力，只改变电荷的速度方向，却不能改变速度的大小，
磁场力对运动电荷不做功。
【例题】
1、如图（a）所示，被U?1000V的电势差加速的电子从电子枪中发射了来，初速度沿直线a方向，要求击中?方向、距离枪口5㎝的目标M，求
T a 以下两种情况下所用的均匀磁场的磁感应强度B。
? （1）磁场垂直于由直线a和点M所决定的平面。 （2）磁场平行于TM。 d 解：（1）图（b）表示了电子的圆轨迹TM。由图可见电子
M圆轨道半径为
图（a） d r? ①
2sin?式中d为TM的直线长度。按能量守恒，电子从电子枪枪口射出的速度为 v?由mev2r?Bev可得 B?2eU ② meT r a mv ③ re将①、②式代入③式，并利用有关数据，可得 B?0.0037（T）
（2）若磁场平行于TM，则可把电子出枪口速度v投影为平行于B及垂直于B的分量
××× ? d2? ×××MO
图（b）
F××B×v∥、v?（如图（c）所示）
v∥?vcos?， v??vsin? ④ v∥使电子作匀速直线运动，v?使电子作匀速圆周运动，其轨迹为螺旋线。设螺旋线半径为R，则
vvcos? ? T a Bd M图（c）
mevsin??Bevsin? ⑤
R22又电子回转周期T?2?Rvsin?，将⑤式代入可得 T?若要击中M，则要求
2?me ⑥ eBd?nT，其中n=1、2、3… ⑦
vcos?联立⑥、⑦式，并将②式代入，最后可得 B?n2?cos?d2Ume?0.0067n（T） e
2、在空间有相互垂直的场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场，如图（a）
所示。一电子从原点静止释放，求电子在y轴方向前进的最大距离。 解：电子在y轴方向的距离最大时，其速度必沿x轴方向。
解法一：电子在y轴运动的最大距离为ym时速度达v，因洛伦兹力不做功，故 eEym?×
×
B
×
E x 12mv 2 由于电场总是沿y轴方向，所以电子在x轴方向上速度分量的增大是由洛伦兹力的水平分量引起的，设电子从O点运动到极大值点洛伦兹力水平分量的平均值记为fx，则 fx?t?mv 且 fx?eBvy
根据运动的独立性，考虑y轴方向分运动有 vy?t?ym 解联立方程可得
O × ×
×
图（a）
mEym? 2eB2
解法二：电子从坐标原点静止释放后在电场力和磁场力作用下作曲线运动，轨迹如图（b）所示。取运动轨迹上某一点
y × QO P × × x
Q，当一个电子经过Q点时，它所受到的x方向的力是
Fx?evyB 这个力提供了电子在x方向的加速度 evyB?max
注意到上式对电子运动过程中各个时刻都是成立的，它可以写成 eB?yi?ti?m?(vx)i?t
即 eB?yi?m?(vx)i
若把电子从O点到P点（轨迹上离x轴最远点）运动过程中所有小段的上述关系式全
部加起来，得
因
× × 图（b）
E × ?(eB?y)??[m?(v)]
ixiiii??yii?ym，??(vx)i?(vx)p
所以有 eBym?m(vx)2p