利用MATLAB绘制二阶控制系统的单位阶跃响应曲线
作者：张宇涛 张怀超 陈佳伟
一：课设目的和意义
（1） （2） （3） （4） 学习控制系统的单位阶跃响应。 记录单位阶跃响应曲线。
比较阻尼比zeta为不同值时曲线的变化趋势。 掌握二阶系统时间响应分析的一般方法。
二：理论分析
（1）典型二阶系统的结构图如图1所示。
不难求得其闭环传递函数为
?nY(s) GB(s)??2R(s)s?2??n??n2其特征根方程为s2?2??n??n=0 方程的特征根: s2?2??n??n=(s?式中, ?称为阻尼比;
22211)(s?)?(s?s1)(s?s2)?0 T1T2?n称为无阻尼自然振荡角频率(一般为固有的)。当?为不同值时，所
对应的单位阶跃响应有不同的形式。
（2）二阶系统单位阶跃响应的三种不同情况 a.过阻尼二阶系统的单位阶跃响应（?>1）
在阻尼比?>1的条件下，系统的特征方程有两个不相等的实数极点。
2s2?2??n??n=(s?11)(s?)?(s?s1)(s?s2)?0 T1T2式中T1=
1?n(????1)2;T2?1?n(????1)2 。
此时，由于?>1，所以T1和T2均为
?n2?1。 T1T2当输入信号为单位阶跃输入时，系统的输出响应如下：
111 Y(s)?GB(s)R(s)???s(T2/T1?1)(s?1/T1)(T1/T2?1)(s?1/T2)对上式进行拉普拉斯反变换，可得
?t?t11T1 y(t)?1?e?eT2
T2/T1?1T1/T2?111b．临界阻尼时的单位阶跃响应（?=1） 此时闭环系统的极点为s1?s2????n???n 此时系统的单位阶跃响应为y(t)?1?ec．欠阻尼时的单位阶跃响应(0
当0
2??nt(1??nt)
s???n??n1 ??2222s?s???n???d?s???n???d
2设cos???,sin??1??对上式进行拉普拉斯反变换,可得其时间响应为
1?e??nt1??2sin(?dt?arctan1??2?)
特别地,当?=0时,有
y(t)?1?sin(?nt?90?)?1-cos?nt
这是一条平均值为1的正.余弦形式的等幅振荡。
三：仿真验证
已知二阶系统传递函数
?nY(s) GB(s)??22R(s)s?2??n??n假设?n=1，我们绘制出当阻尼比?分别为0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0，2.0时系统的单位阶跃响应曲线。
用MATLAB函数实现程序代码如下：
clear t=0:0.01:10;
zeta=[0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,2.0]; for i=1:length(zeta) num=1;
den=[1,2*zeta(i),1]; y(:,i)=step(num,den,t); end
plot(t,y,t,ones(length(t),1),'k-.') axis([0 10 0 2.2])
title('Plot of Unit-Step Response Curves with \\omega _n=1 and \\zeta=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,2.0','Position',[5 2.22],'FontSize',8) xlabel('Time(sec)','Position',[9.8 -0.15],'FontSize',8) ylabel('Response','Position',[-0.25 1],'FontSize',8) text(3.5,2.0,'\\zeta=0','FontSize',8) text(3.0,1.77,'0.1','FontSize',8) text(3.0,1.42,'0.3','FontSize',8) text(3.0,1.2,'0.5','FontSize',8) text(3.5,1.08,'0.7','FontSize',8) text(3.0,0.75,'1','FontSize',8) text(3.0,0.48,'2','FontSize',8) 运行该程序得到如下图所示：
2
Plot of Unit-Step Response Curves with ? n=1 and ?=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,2.020.2?=01.50.40.6Response110.80.520012345Time(sec)678910
四：结论与收获
结论：
（1） 当??0时，输出响应为等幅振荡。
（2） 当0
随着?增大，上升时间增大，超调量变大，调节时间变短，峰值时间变大。
（3） 当?>1时，响应是非振荡的，无超调量，该系统不存在稳态误差。
收获：
（1） 应用MATLAB软件可以绘出响应曲线，进而直观形象地从图像中看出二阶系统的动
态性能指标变化。
（2） 通过对word的操作可以加深对公式应用的理解，同时对word公式编辑器有了更深
入的了解。
（3） 锻炼了团队的协作能力，进而能够完成本次任务。