专题12 平面向量
考纲解读明方向 考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度 1.平面向量的基本 概念与线性运算 2.向量的共线问题 ①了解向量的实际背景; ②理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义; ③理解向量的几何表示; ④掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义 掌握 2015课标Ⅰ,7; 2015陕西,7; 2013四川,12 选择题 填空题 ★★☆ ①掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义; ②了解向量线性运算的性质及其几何意义 掌握 2015课标Ⅱ,13; 2013陕西,3 选择题 填空题 ★★☆ 分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分,属中低档题. 考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度 1.平面向量基本了解平面向量的基本定理及其意义 定理 了解 2017江苏,12; 2015北京,13; 2013北京,13 选择题 填空题 ★☆☆ ①掌握平面向量的正交分解及其坐标2016课标全国表示; Ⅱ,3; 2.平面向量的坐②会用坐标表示平面向量的加法、减选择题 掌握 2015江苏,6; ★★☆ 法与数乘运算; 填空题 2014陕西,13; 标运算 ③理解用坐标表示的平面向量共线的2013重庆,10 条件 分析解读 1.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题. 考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度 (1)平面向量的数量积 2017浙江,10; 1.数量积的定①理解平面向量数量积的含义及其物2016天津,7; 选择题 理解 ★★★ 理意义; 2015湖北,11; 填空题 义 ②了解平面向量的数量积与向量投影2014课标Ⅱ,3 ·1·
2.平面向量的 长度问题 3.平面向量的夹角、 两向量垂直及数 量积的应用 的关系; ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算; ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. (2)向量的应用 ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题; ②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 掌握 2017课标全国Ⅰ,13; 2017浙江,15; 2016北京,4; 2014浙江,8 选择题 填空题 ★★★ 掌握 2017课标全国Ⅱ,12; 2017山东,12; 2016山东,8; 2015重庆,6; 2014重庆,4 选择题 填空题 ★★★ 分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.
2018年高考全景展示 ·2·
1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是 A.
?1 B.
+1 C. 2 D. 2?
【答案】A
【解析】分析:先确定向量系求最小值.
所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关
详解：设由
得
，则由得
因此
的最小值为圆心
， 到直线
的距离减去半径1，为选A.
点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
2．【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则
的最小值为
，
，
，
.
A.
B. C.
D.
【答案】A
【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
·3·
，，，
点在得：得：
上，则
，且：
，设，则：，
，整理可得：
，即，据此可
，由数量积的坐标运算法则可
，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
3．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则
=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D
详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为消元整理得：
，解得
，又
·4·
，与抛物线方程联立，所以
，
，
从而可以求得，故选D.
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出之后借助于抛物线的方程求得
，
，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数
量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果. 4．【2018年理新课标I卷】在△A. 【答案】A
【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得向量的加法运算法则-------三角形法则，得到下一步应用相反向量，求得详解：根据向量的运算法则，可得
，之后将其合并，得到
，之后应用
，
B.
C.
中，
为
边上的中线，为 D.
的中点，则
，从而求得结果.
所以
，故选A.
，
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
5．【2018年理数全国卷II】已知向量，满足A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B
【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
·5·
，，则
详解：因为
点睛：向量加减乘：
6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系
中，A为直线
所以选B.
上在第一象限内的点，
，以
AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若【答案】3
，则点A的横坐标为________．
【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设
，则由圆心为
中点得
.所以
或
，
易得
，
，与
联立解得点D的横坐标由因为
得，所以
所以
点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
7．【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量【答案】
【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。 详解：由题可得
，
，
,即
，故答案为
，
，
．若
，则
________．
点睛：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。
2017年高考全景展示 1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若A．3 【答案】A
·6·
=
+，则+的最大值为 B．2
C．
D．2