天星教育2017届高三毕业生第一次大联考
一、选择题（共12小题；共60分） 1. 已知复数
A.
（ 为虚数单位），则
B.
C.
D. D.
2. 已知集合 ，则集合 的子集的个数为
A.
B.
C.
3. 若 ， ， ，则 的值为
A. B.
C.
D. 或
4. 已知 表示不超过 的最大整数，比如： ， ．执行如图所示的程序框图，若输入 的值为 ，则输出 的值为
A. 为
B. C. D.
5. 已知抛物线 在点 处的切线与 轴的交点为 ，则抛物线的方程
A.
B. C. D.
6. 函数 的零点所在的大致区间为
A. C.
B. D. 与
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和侧面积分别为
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A. ， C. ， B. ， D. ，
8. 已知在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， ， ， 边上的中线长为 ，则 的面积 为
A.
B.
C.
D.
所表示的区域为 ，曲线 与 轴围成的区9. 已知关于 ， 的不等式组
域为 ，若向区域 内随机投一点，则该点落在区域 内的概率为 A.
B.
C.
D.
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则
A. B. C.
D.
11. 已知圆锥的顶点为球心 ，母线与底面所成的角为 ，底面圆 的圆周在球 的球面上，圆
的内接 满足 ，且 ，则球 的体积为
A. B. C. D.
12. 已知数列 的各项均为非负整数，且满足 ， ，
，则 的值为
C.
D.
A. B.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 假若你是某工厂厂长，在你的办公桌上有各部门提供的以下信息．
人事部：明年工人数不多于 ，且每人每年按 个工时计算； 市场部：预计明年产品的销售量在 件；
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技术部：生产该产品平均每件需要 个工时，且这种产品每件需要安装 个某重要部件； 供应部：某重要部件的库存为 个，明年可采购到这种部件 个． 由此推算，明年产量最多为 件． ， 交于点 ，则 的面积为 ．
， ，连接 14. 已知 的面积为 ，点 ， 分别在边 ， 上，且满足
15. 已知双曲线 的右顶点为 ，右焦点为 ，点 到双曲线渐近线的距离
为 ，若
，则双曲线的离心率为 ．
16. 已知函数 的定义域是 ，对于任意的实数 ， ，都有 ，且
．若 ，则不等式 的解集是 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 设数列 的前 项和为 ，满足 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记
，求数列 的前 项和 ．
18. 耳朵是我们身上很重要的器官，但是它却很脆弱，不注意保护自己耳朵的人很容易产生耳病，
突发性耳聋、老年性耳聋、慢性化脓性中耳炎是常见的三类耳病，通常要经过两个疗程（ 天为一个疗程）的治疗才会初见效果．某市医院对正在住院治疗的 位病人进行了统计，结果如下表：
类型
在第一个疗程中治疗的病人数在第二个疗程中治疗的病人数
突然性耳聋老年性耳聋慢性化脓性中耳炎
（1）从这 位病人中任取 位，求该病人在第一个疗程中治疗的概率；
（2）医院为了了解这些病人的治疗状况，决定按表中描述的六种情况进行分层抽样，抽取
位病人进行病况分析，设从慢性化脓性中耳炎类中抽取了 位病人．
①求 的值；
②如果从这 位病人中随机选取 位，求恰有 位病人在第二个疗程中治疗的概率．
19. 如图 ，已知在梯形 中， ， ， 分别为底 ， 上的点，且 ，
， ，沿 将平面 折起至 平面 平面 ，如图 所示．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若点 到平面 的距离为
，求 的长度．
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20. 已知椭圆 与抛物线 有共同的焦点 ，且两曲线在第二象限
内的交点到 的距离是它到直线 的距离的一半． （1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆右焦点 且垂直于 轴的直线 与椭圆交于点 （ 在第一象限），以 为圆心的
圆与 轴交于 ， 两点，直线 ， 与椭圆分别交于另一点 ， ，求证：直线 的
斜率为定值，并求出这个定值．
21. 已知函数 ， ．
（1）判断函数 的单调性；
（2）若函数 有且只有 个零点，求 的取值范围．
为参数 ．以 为极点， 轴22. 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，若直线 与曲线 交于 ， 两点．
（1）若 ，求 ；
（2）若点 是曲线 上不同于 ， 的动点，求 面积的最大值． 23. 已知函数 ， ．
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若不等式 至少有一个负数解，求实数 的取值范围．
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答案
第一部分 1. B
【解析】通解：
， ， ．
优解：由题意知 2. B 3. C ． 4. D
，利用性质 ，得 ．
【解析】不等式 的解集为 ，
【解析】因为 ， ，所以 ， ，则 ．因为
又 ，所以 ，故集合 的子集的个数为 ．
，所以 ，即 ，所以 ，从而
【解析】输入 ，则 ， ，所以
；
， ，所以 5. C
；
， ，则 ．
【解析】通解：设抛物线 在 处的切线为 ， 又切线过点 ，则 ，即 所以切线方程为
，
，其中 ，将切线方程与 联立，得
，整理得 ，则 ，解得 ，则抛物线方程
为 ．
优解：由于 ， ，因而抛物线在 处的切线的斜率 ，其中 ，则切线方程为 ．
又切线与 轴交于点 ，因而 ，得 ，则抛物线方程为 ． 6. B
【解析】
，其在定义域 上是减函数．
当 时， ， ，即 ，故函数在 上没有零点． ，
，
因为 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，即 ，根据零点存在性定理可知函数 在 上存在零点． 7. A
【解析】由三视图知该几何体是一个组合体，右边是半个圆柱（底面半径为 ，高为 ），左
边是一个四棱锥（底面是长和宽分别为 和 的长方形，高为 ）． 则该几何体的体积 ，
侧面积 侧 ．
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