初 一 数 学（第9周）
【教学内容】
第三章 3·1 整式 3·2同类项
【教学目标】
1、掌握单项式的意义，会确定一个单项式的系数和次数； 2、掌握多项式的意义，会确定一个多项式的项数和次数； 3、掌握整式的意义；
4、会将一个多项式按某一个字母进行升幂或降幂排列； 5、理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法。
【知识讲解】
1、单项式
对于代数式：4x, ab, a3, -x, -7x2y3等，分析其特点，它们都可以看作是数字与字母的乘积。如4x=4×x， ab=1×a×b, -x=-1×x。象这样的代数式叫单项式。并规定：单个的数字和单个的字母也是单项式。如1，0，a, x等。
由单项式的定义可知，在单项式中，只含有乘法运算（乘方运算理解成特殊的乘法运算），不能含有其它任何运算。
(1)单项式的系数：是指单项式中的数字因数。如4x的系数是4，a3的系数是1，-x的系数是-1。
(2)单项式的次数：是指单项式的所有字母的指数和。如4x的次数是一次，a3的次数是三次，-7x2y3的次数是五次。
(3)单项式的名称：一个单项式的次数是几次，就读作“几次单项式”。如4x是一次单项式，-2x2y3是五次单项式。 例1、填表 单项式 系数 次数 名 称 6t 6 1 一次单项式 3a 1 3 三次单项式 -x -1 1 一次单项式 4xy 34 32 二次单项式 4 3×103m4 3×103 四次单项式 1 2πs 2π 一次单项式 说明：(1)单项式的系数包括它前面的符号；
(2)对于a, -x等单项式，不要误认为它没有系数，它们的系数分别是1， -1；
而
4xy4的系数应是，不要认为是4；
33 (3)单项式的次数仅仅与字母有关，是单项式中所有字母的指数和。特别注
意象单项式x，它的次数是1而不是0；再如(-2)3m，它的次数是1，而不是4。 2、多项式
对于代数式：4x-5, 3a2-2ab+3b3, -7xy4-y2+xy，它们可以看成是由单项式的和
组成的式子。具体地说：
4x-5是单项式4x与-5的和；
3a2-2ab+3b3是单项式3a2， -2ab, 3b3的和； -7xy4-y2+xy是单项式-7xy4, -y2, xy的和。 象这样几个单项的和组成的代数式叫多项式。
(1)多项式的项：多项式中的每个单项式。不含字母的项叫常数项。如4x-5，项是4x, -5，常数项是-5；要特别注意项的符号。如4x-5的常数项是-5，而不是5；
(2)多项式的次数：是指多项式中次数最高项的次数。如4x-5,次数最高的项是4x，所以4x-5的次数是1；3a2-2ab+3b3中次数最高的项是3b3，所以3a2-2ab+3b3 的次数是3。 (3)多项式的名称：一个多项式的名称是由其次数与项数共同决定的，读作“几次几项式”。如4x-5是一次二项式；3a2-2ab+3b3是三次二项式。 例1、填表 多项式 2-x 56x-2x+7 a2-a2b2+b2 项 2, -x 6x5, -2x, 7 a2, -a2b2, b2 次数 1 5 4 最高次项 -x 6x5 -a2b2 最高次项的系数 -1 6 -1 名 称 一次二项式 五次三项式 四次三项式 说明：(1)多项式中，每个单项式叫多项式的项，项包括它前面的符号；
(2)多项式中，不含字母的项叫常数项。对于多项式a2-a2b2+b2中没有不含 字母的项，所以它没有个常数项；
(3)要区别多项式中“最高次项”与“最高次项的系数”这两个不同的概念。 3、整式
整式是指单项式和多项式的总称。 例1、说出下列式子，哪些是单项式，哪些是多项式？哪些是整式？哪些是代数式？
221xa?1112x2?2x?1 a, -mnp, , , , (a+b), , , a+2a
3ba24?5 解：单项式有：a, -
22x1mnp, ， ； 34?12x2?2x?1 多项式有：(a+b), , a+2a；
2522x112x2?2x?1 整式有：a, -mnp, ， ， (a+b), , a+2a；
342?5 代数式有：a, -
221xa?11mnp, , , , (a+b), 3ba2?12x2?2x?1 , , a+2a
45 说明：(1)只要分母上含有字母的代数式都不是整式；
(2)a+2a这个代数式是多项式，不能理解成a+2a=3a，从而判其为单项式。 4、多项式的升幂与降幂排列。
按照某一字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列多项式，叫多项式的升幂排列(或降幂排列)。
例1、把多项式x3+5x-6-4x2重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按x的升幂排列；
解：(1)x3-4x2+5x-6 (2)-6+5x-4x2+x3
说明：(1)重新排列多项式，各项都要带着符号移动位置； (2)对于常数项-6，将其理解成是零次项。 例2、把多项式3x2y-4xy2+x3-5y3重新排列： (1)按y的降幂排列； (2)按y的升幂排列。
解：(1)-5y3-4xy2+3x2y+x3 (2)x3+3x2y-4xy2-5y3
说明：(1)每次排列只能按某一个字母的指数从大到小或从小到大的顺序中的一种顺序排列各项；
(2)按某字母的降幂（或升幂）排列时，不考虑其它字母的排列顺序。 请你想一想，例2中给出的多项式，按x的降幂排列或升幂排列，结果如何。 4、同类项。
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项。（数与数之间也叫同类项。）
如在5x+2x中，5x与2x都含字母x，且x都是一次；在-4ab2+3ab2中，-4ab2与3ab2都含字母a, b,且a都是一次，b都是二次；所以5x与2x是同类项，-4ab2与3ab2是同类项。
例1、判别下列各组中的两项是否为同类项？ (1)
134ab和?a3b； (2)0.25st和4ts； 23 (3)2x2和2x2； (4)a3和m3；
12x2y(5)abc和2abc； (6)-4xy和； (7)- 和25
852
2
2
分析：同类项必须满足两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数也相同；(1)
题中字母a、b的指数各不相同；(5)题中的字母a、c的指数各不相同；(4)题中的字母不同，所以它们不是同类项。
解：(2)、(3)、(6)、(7)是同类项； (1)(4)(5)不是同类项。
注意：同类项与项中字母的排列顺序无关，也与系数是否相同无关。 5、合并同类项
合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
例1、合并下列多项式的同类项 (1)2x2-3x+4-x2+5x-1；
(2)0.3m2n-0.12n2m+0.4mn2-m2n； (3)a3-
121ab+2ab2+a2b-2ab2+b3； 22 (4)3(a+b)2-(a+b)+2(a+b)2+4(a+b)(将(a+b)看作整体)。
分析：合并同类项的具体步骤为：(1)将多项式中的同类项找出来；(2)利用法则进行计算，类同于有理数的加减运算，运算时要注意符号。 解：(1)原式=(2-1)x2+(-3+5)x+(4-1)
=x2+2x+3
(2)原式=(0.3-1)m2n+(-0.2+0.4)mn2 =-0.7m2n+0.2mn2
(3)原式=a3+(-
112
+)ab+(2-2)ab2+b3 22 =a3+b3
(4)原式=(3+2)(a+b)2+(-1+4)(a+b) =5(a+b)2+3(a+b)
注意：①合并同类项时，字母和字母的指数不变，不能出现下列错误：2x2+x2=3x4；
②若同类项的系数互为相反数时，这两项的和为零。如(3)题中的
-
1212
ab+ab=0，不要写成0·a2b； 221532m ③没有同类项的项，连同它的符号一起保留下来，不要遗漏。 例2、如果ab与?12n4ab是同类项，求m、n的值。 4 分析：由同类项的概念可知：所含字母相同，相同字母的指数也相同。所以a3与a2n、b2m与b4分别相同。
解：由题意，得：3=2n, 2m=4, 则m=2, n= 例3、化简求值
5x2-x-4+2x-4x2，其中x=-1
3. 21； 2 分析：此题是给出多项中字母的数值，求多项式的值。先要合并同类项，代入数值进行计算，这样可以使求值过程简化。若直接代入数值，则计算繁琐而且易出错。 解：原式=(5-4)x2+(-1+2)x-4 =-x2+x-4
111时，原式=(-1)2-1-4 22291 =-1-4
42 当x=1
=-4
3 4【一周一练】
1、判断题
(1)-m是单项式，系数是-1。 （ ）
y是单项式，系数是1。 （ ） x11 (3)(x?1)是单项式，系数是。 （ ）
55b?1 (4)是多项式。 （ ）
c (2)
(5)多项式3xy2+2x是四次二项式。 （ ）
(6)将多项式3x2y3-x3y2-2x4+5-xy按x升降幂排列为2x4-x3y2+3x2y3-xy+5。（ ） (7)m、n是自然数，则多项式am+bn+2m+n的次数是m+n。 （ ） (8)字母相同，次数也相同的项叫同类项。 （ ） (9)-1与
2是同类项。 （ ） 3 (10)5ab-ab=5。 （ ） (11)-
12212
st+tS=St. （ ） 22 2、填表 (1) 单项式 系 数 次 数 (2) 多 项 式 项 次 数 最高次项 最高次项的系数 3、填空题
(1)代数式：
3x-4 X2-2xy+y4 m2-3m-7n4-3 x -m xyz 4xy 7 2πR -32xy4 2×103mn 1baxya?ba-b, , 0, 1+, , +1, 中，单项式3a43?x有 ；多项式有 ；整式有 。
(2)多项式1-3x2+5x-x3按字母x的降幂排列是 。 (3)多项式x3-3x2y-3xy2+y3按字母 的升幂排列。
(4)与- 222abc是同类项且系数是-的单项式是 。 53