第二章 应力状态
第二章 应力状态理论
2.1 应力和应力张量
在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发
生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。
为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面A分成A和B两部分(图2.1)。如将B部分移去，则B对A的作用应代之以B部分对A部分的作用力。这种力在B移去以前是物体内A与B之间在截面C的内力，且为分布力。如从C面上点P处取出一包括P点在内的微小面积元素?S，而?S上的内力矢量为?F，则内力的平均集度为?F／?S，如令?S无限缩小而趋于点P，则在内力连续分布的条件下?F／?S趋于一定的极限?o，即
?F?? lim?S?0?S 这个极限矢量?就是物体在过c面上点P处的应力。由于?S为标量，故，?的方向与?F的极限方向一致。内力矢量?F可分解为所在平面的外法线方向和切线方向两个分量?Fn和?Fs。同样，应力?可分解为所在平面的外法线方向和切线方向两个分量。沿应力所在平面
的外法线方向n的应力分量称为正应力，记为
图2.1 应力矢量
?n，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为
?n。此处脚注n标明其所在面的外法线方向，由此， ?S面上的正应力和切应力
分别为
在上面的讨论中，过点P的平面C是任选的。显然，过点P可以做无穷多个这样的平面C，也就是说，过点P有无穷多个连续变化的n方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了如何描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点P处的应力状态，在点P处沿坐标轴x，y，z方向取一个微小的平行六面体(图2.2)，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为?x，Δy，Δz。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力分量，如图2.2所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正负早规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的切应力为正．反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图2.2中的各应力分量均为正。应力及其分量的单位为Pa。
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第二章 应力状态
图2.2 应力表示法
由图2.2可知，当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表一
点处的应力。因此，一点处的应力分量共有9个，其中有3个正应力分量、6个切应力分量，由切应力互等定理可知，实际上独立的切应力分量只有3个。把这9个应力分量按一定规则排列，令其中每一行为过一点的一个面上的3个应力分量，即得如下应力张量，在数学上称之为二阶张量。
??x?xy?xz????ij???yx?y?yz?
??zx?zy?z??? 其中 i，j=(x，y，z)，当i，j任取x，y，z时，则得到相应的应力分量，但?xx，?yy，?zz分别简写为?x，?y，?z。
应当指出，物体内各点的应力状态，一般并不是相同的，即非均匀分布的，因此各点的应力分量是坐标z，y，z的函数。所以，应力张量?ij与给定点的空间位置有关，同时应力张量是针对物体中的某一确定点而言的，今后将会看到，应
力张量完全确定了一点处的应力状态。
张量符号与下标记号法使冗长的弹塑性力学公式变得简明醒目，在文献中已被广泛应用，今后将逐渐熟悉这种标记法。
2.2 二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式
上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。
当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z轴)无关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。
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1. 平面应力问题
如果考虑如图2.3所示物体是一个很薄的
平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即 xy平面，z方向的体力分量Z及面力分量Fz均 为零，则板面上(z???/2处)应力分量为 (?z)??0
z??2 (?zx)z???2?(?zy)z???2?0
因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布， 所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此， 在垂直于z轴的任一微小面积上均有
?z?0， ?zx??zy?0 图2.3 平面应力问题 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有?yx??xz?0。因而对于平面应力状态的应力张量为
??x?xy ?ij????yx?y?0?00?0?? 0??也可写为
??x?xy? ?ij??? ??y??yx 如果z方向的尺寸为有限量，仍假设?z?0，?zx??zy?0，且认为?x，?y和?xy(?yx)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。 2. 平面应变问题
如果物体纵轴方向(oz坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z轴均匀分布地作用在垂直于oz方向，如图2.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿z轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位移与所在z方向的位置无关，即z方向各点的位移均相同。令
u、v、w分别表示一点在x、y、z坐标方向的位移分量，则有w为常数。等于常数的位移w并不伴随产生任一xy平面的翘曲变形，故研究应力、应变问题时，可取w?0。此外，由于物体的变形只在xy平面内产生，因此w与z无关。故对于平面应变状态有
图2.4 平面应变问题
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u?u(x,y)?? v?v(x,y)?
w?0??由对称条件可知，在xy平面内?xz(?zx)和?yz(?zy) 恒等于零，但因z方向对变形的约束，故?z一般并不
为零，所以其应力张量为
??x?xy?ij????yx?y?0?00?0?? ?z?? 实际上?z并不是独立变量，它可通过?x和?y求得，因此不管是平面应变问题还是平面应力问题，独立的应力分量仅有3个，即?x、?y和?xy(=?yx)，对于平面应变问题的求解，可不考虑?z。
三. 平衡微分方程
物体在外力作用下处于平衡状态时，由各点应力分量与体力分量之间的关系所
导出的方程称为平衡微分方程。如图2.5a)所示的平面应力问题，除面力外，在这个微单元体上还有体力的作用．单位体积的体力在二个坐标轴上的投影为X,Y．而固体的质量密度为?。自弹性体内任一点P处附近截取一单元体，
a) b)
图2.5 平面应力状态微元体的应力
它在x，y方向的尺寸分别为dx和dy。为了计算方便，在z方向取单位长度，如图2.5b)所示。该单元体受有其相邻部分对它作用的应力和单元体的体力。由于在一般情况下应力分量是位置坐标的函数，因此在单元体左、右或上、下两对面上的应力不相等，而具有一微小的增量。若作用于ab上的正应力和剪应力分别为?x，则作用于cd面上的正应力应随之变化。该变化可根据Taylor级数展开，即
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?xcd??xab???x?xdx?ab??x?ydy?0(dx2,dy2)
ab由于ab,cd线元上的应力分量均可用相应线元中点处的应力分量表示，以及略去二阶以上的微量后，由上式得cd边上的正应力为 ?x???xdx ?x同理，如ab边上的切应力为?xy，ad边上的正应力和切应力分别为?y，?yx可得cd边上的切应力及bc边的应力分量可类推分别得
?xy???xy?xdx
?y?
??y?y??yx?ydy
?yx?dy 微单元体在面力及体力作用下处于平衡，必须满足静力平衡的三个方程式。如果考虑到质点运动，而按照牛顿第二定律，方程式的右边还应包括这个微单元体的质量与加速度在该坐标轴上的投影的乘积(即惯性力的投影)。
对于所研究的一点P。，设其位移在坐标铀x,y上的投影分别为u,v，加速度的投影可分别写为：
?2u?2v 2, 2
?t?t若弹性体处于平衡状态，则取自物体内的单元体也必处于平衡状态。因而，根据
?2u?Fx?0(???tdxdy)，有
??yx??x?2udx)dy??xdy?(?yx?dxdy) (?x?)dx??yxdx?Xdxdy?0(???x?t?y将上式化简，并等式两边同除以dxdy，可得
??x??xy?2u ??X?0(??2)
?t?x?y?2v由平衡方程式?Fy?0??2)，可类似导得
?t
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(2.2-1a)