第3节 直线的参数方程
[核心必知]
1．双曲线的参数方程
??x＝asecφ，x2y2
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线2－2＝1的参数方程是?，规定参
ab?y＝btan φ?
π3π数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠．
22??x＝btan φ，y2x2
(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线2－2＝1的参数方程是?．
ab?y＝asecφ?
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2
?x＝2pt，?
＝2px的参数方程为?，t∈R．
?y＝2pt?
2
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
[问题思考]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？
提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．
2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？
提示：如果x对应的参数形式是asecφ，则焦点在x轴上； 如果y对应的参数形式是asecφ，则焦点在y轴上． 2px＝??tanα，3．若抛物线的参数方程表示为?则参数α
2p??y＝tan α.
2
的几何意义是什么？
1
提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角．
在双曲线x－y＝1上求一点P，使P到直线y＝x的距离为2.
2
2
[精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出P点的坐标，建立方程求解．
|secφ－tan φ|设P的坐标为(secφ，tan φ)，由P到直线x－y＝0的距离为2得＝22
1sin φ得|－|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| cos φcos φ平方得1－2sin φ＋sin φ＝4(1－sin φ)， 即5sin φ－2sin φ－3＝0. 3
解得sin φ＝1或sin φ＝－.
5sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． 34
sin φ＝－时，cos φ＝±.
555353
∴P的坐标为(，－)或(－，)．
4444——————————————————
2
2
2
参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点． 证明：设双曲线为x－y＝a，取顶点A(a，0)，
2
2
2
2
弦B′B∥Ox，B(asec α，atan α)，则B′(－asec α，atan α)．
atan αatan α
∵kB′A＝，kBA＝，
－asec α－aasec α－a∴kB′A·kBA＝－1.
∴以BB′为直径的圆过双曲线的顶点．
连接原点O和抛物线2y＝x上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P2
点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
[精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M、P的坐标，然后借助中点坐标公式求解．
设M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长线上，且M为线段OP的中点，
???x＝2t，?x0＝4t，
?抛物线的参数方程为?由中点坐标公式得 22
??y＝2t，y＝4t，??0
122
变形为y0＝x0，即x＝4y.表示的为抛物线．
4——————————————————
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标
?x＝2t，?2．已知抛物线C：?(t为参数)，设O为坐标原点，点M在抛物线C上，且点M?y＝2t?
2
的纵坐标为2，求点M到抛物线焦点的距离．
??x＝2t，2
解：由?得y＝2x，
?y＝2t?
2
即抛物线的标准方程为y＝2x. 又∵M点的纵坐标为2， ∴M点的横坐标也为2.
2
3
即M(2，2)．
1
又∵抛物线的准线方程为x＝－.
2
115
∴由抛物线的定义知|MF|＝2－(－)＝2＋＝. 2225
即点M到抛物线焦点的距离为. 2
??x＝4secθ，
如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线?(θ为参数)的右顶点和
?y＝3tan θ?
右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．
[精讲详析] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可．
∵－＝1，
169
∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)．
x2y2
x2y2
设椭圆2＋2＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3.
ab∴方程为＋＝1.
259
设椭圆上一点P(5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x－4y＝0，
|3×5cos θ－12sin θ|
∴点P到直线的距离d＝
5＝
3|41sin （θ－φ）|5
(tan φ＝)．
54
x2y2
341
∴dmax＝. 5——————————————————
对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．
4