上海市2014年龙文1对1
小学五年级
第七讲 几何（二）
蝴蝶定理
四边形的蝴蝶定理： 1. S1：S2=S4：S3 或者S1×S3=S2×S4 （对角面积之积相等）
应用：知道三个面积就能求第四个面积 2. AO：OC=（S1+S2）：（S4+S3）
As2BDs1OS3CS4
as1s2S3bS4梯形的蝴蝶定理： 1. S1︰S3=a2︰b2
2. S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ; 3. S的对应份数为（a+b）2
【例1】 某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，
例题选讲
△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
【分析与解】由任意四边形的蝴蝶定理有
S?AOB?S?COD?S?AOD?S?BOC所以S?AOD?1?3?2?1.5平方千米，故公园总面积为1?3?2?1.5?7.5平方千米，人工湖面积为7.5?6.92?0.58平方千米
【例2】 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，
△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积. 【分析与解】梯形面积=（上底+下底）×高÷2即45=（AD+BC）
×6÷2，45=（AD+10）×6÷2，AD=45×2÷6-10=5米。
1又S△ADE??AD?高△ADE的高是2米。△EBC的高等于
211梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，所以S△BEC??BC?4??10?4?20（平
22方米）
【例3】 如图，ABCD是梯形，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O点，OE∥AB，
交腰BC于E点。如果三角形OBC的面积是115cm2，那么三角形ADE的面积是（ ）cm2。
DOA【例4】 如图，?ABC中AE?CEB
11AB，AD?AC，ED与BC平行，?EOD的面积是144平方厘米，那么?AED的面积是多少平方厘米？
AEOBBG:GC?3:1，则四边形EFGHDC
【例5】 如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，
的面积是多少？
AFEDHBGC
燕尾定理
燕尾定理：两个有公共边的三角形ABD和ABC，ABC与DC交于点M，则三角形
ABC的面积与三角形ABD的面积之比等于CM与DM的比。（定理描述对下图所
示四种图形都成立）
【例6】 如图，已知BD=DC，AE=EB，三角形AFC的面积是30，求三角形A BC的
A
例题选讲
面积。
【分析】连结BF，由燕尾定理 三角形S△ABF: S△ACF=BD:DC=1：1 三角形S△ABF: S△BCF=AE:BE=1：1 所以S△ABF=S△ACF=S△BCF=1/3 S△ABC S△ABC=3 S△ACF=90
【分析】连结CF，由燕尾定理
E B F D
C
A E B F D
C
【例7】 已知BD=DC，EC=2AE，三角形AEF的面积是10，求三角形ABC的面积。
A 三角形S△ABF: S△ACF=BD:DC=1：1 三角形S△ABF: S△BCF=AE:EC=1：2 所以2S△ABF=2S△ACF=S△BCF S△ABF=15×10=150 B D
F E
C A F E 在三角形ACF中，有EC=2AE，S△AEF=1/3 S△AFC=1/15 S△ABC C B BC上，【例8】 如图，三角形BAC的面积是1，E是AC的中点，点D在且BD:DC=1:2，D AD与BE交于点F，则四边形DEFC的面积等于 。
【分析】连接FC，S△AFE=1那么S△FEC=1根据燕尾定理S△ABF=1,S△BFC=1 整个三角形被分成了4份,那么每一份是1、4S△BFC=1/4, 那么S△DFC=1/4×2/3=1/6四边形DFEC的面积 1/4+1/6= 5/12 【例9】 三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角
形AMN（阴影部分）的面积为多少？ 【分析】因为缺少尾巴，所以连接BN，?ABC的面积为3×2÷2=3这样我们可以根据燕尾定理很容易发现?ACN：
?ANB=CD：BD=2：1；同理?CBN：?ACN=BM：AM=1：1；
设?AMN面积为1份，则?MNB的面积也是1份，所以?ANB得面积就是1+1=2份，而?ACN：?ANB=CD：BD=2：1，所以?ACN得面积就是4份；?CBN：?ACN=BM：AM=1：1，所以?CBN也是4份，这样?ABC的面积总共分成
134+4+1+1=10份，所以阴影面积为3×=。
1010
【例10】 如图，已知BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分
面积.
BDCFAEFAEAEF【分析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
（法一）连接CF，因为BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，
所以S?ABE?S?ABC?10，S?ABD?S?ABC?15。
1312BDCBDC
根据燕尾定理，
14S?ABFAE1SBD??，?ABF??1, S?CBFEC2S?ACFCD所以S?ABF?S?ABC?7.5，S?BFD?15?7.5?7.5， 所以阴影部分面积是30?10?7.5?12.5。
（法二）连接DE，有题目条件可得到S?ABE?S?ABC?10，
112S?BDE?S?BEC??S?ABC22313AFS?ABE1??， ?10，所以
FDS?BDE1111111S?DEF??S?DEA???S?ADC????S?ABC?2.5，
223232 而S?CDE???S?ABC?10。所以阴影部分的面积为12.5。
【练习1】
2132课后练习
在
右图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是多少？
【答案】6
【练习2】 右图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形
CDE的面积大2厘米2，求CD的长．
【答案】3
【练习3】 如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已
知△AOB和△BOC；的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是__________m2
【答案】144
【练习4】 如图，已知BD=2DC，AE=EB，三角形AFC
A
的面积是30，求三角形ABC的面积。
【答案】120
的面积是30，求阴影部分面积。
【答案】17﹒5
E F D
C
B 【练习5】 如右图，已知BD=3DC，BE=2AE，三角形ABC
【练习6】 如图，D是任意一个三角形ABC的AB边
上的中点，E和F两点将BC边平均分为三段。连接CD、AE和AF三条线段，将三角形ABC分为了六个部分。如果假设三角形ABC的面积为1，那么这四边形EOMF的面积是多少？
【答案】1/4