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均布荷载作用下深梁的变形和应力
两端简支，长度l=5m，高度h=1m的深梁，在均布荷载q =5000N/m作用下发生平面弯曲 （如图4.1所示）。已知弹性模量为30Gpa，泊松比为0.3，试利用平面应力单元PLANE82， 确定跨中的最大挠度，和上下边缘的最大拉压应力。
4.1 均布荷载作用下深梁计算模型
1．理论解
具有两个简支支座支承的简支梁，它的变形和应力分布在理论上是没有解析表达式。 在一般的弹性力学教科书中，只有将两边支座简化为等效力的条件，即在两个支座的侧表 面上作用有均匀分布的剪力情况，才可以得到理论解答。 (1) 设定应力函数。
获得这种情况下的解答的主要思路是：按照应力解法，考虑到应力分量关于该梁中心 位置（x=2.5，y=0.5）有对称和反对称关系。可以首先假定一个应力函数为：
????A(y ??0.5)5??B(x ??2.5)2 (y ?0.5)3 ?C(y ?0.5)3??D(x??2.5)2??E(x ?2.5)2 (y ??0.5) (4.1) 依据这个应力函数，可以获得各个应力分量，按照上表面受均布压力作用简支梁的上
下表面和左右侧表面的应力边界条件，确定出应力函数（4.1）中的各个待定系数A，B，C， D和E。
按照应力求解平面应力问题方法，应力函数应该满足双调和函数： ?2?2????0 (4.2)
将（4.1）应力函数代入上式后，得到： 24 B( y ??0.5) ?120A(y ??0.5) ??0 (4.3) 即：
B ???5A (4.4)
(2)确定应力分量。
应力函数与应力分量之间的关系为：
(3) 利用梁的上下表面边界条件确定积分常数。
上表面受均布压力作用简支梁的上表面（y=h=1m）的应力边界条件:
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下表面(y=0)的应力边界条件:
(5) 将梁的左右端面边界条件降低为积分满足。
考察边界条件（4.13）到（4.16），可以看出，无法找到能满足两端侧表面的所有应力 边界条件的待定系数。根据弹性力学中的圣维南原理，可以在次要边界上放松边界条件。 注意到梁的上下表面几何尺寸大于两端侧表面的高度，所以上下表面可以认为是主要边界， 左右两端侧表面是次要边界。将左右侧面的应力边界条件放松为积分满足，从而得到在左 右支座位置有偏差，在远离两端区域成立的解析解。
将左侧面(x=0)的应力边界条件（4.13）和（4.13）转换为积分条件:
将右侧面(x=l=5m)的应力边界条件（4.15）和（4.16）转换为积分条件:
这些积分条件中的(4.17)，(4.19)，(4.20)和(4.22)会自动满足。条件（4.18）和(4.21)相 同，并且可以确定出：
(6) 获得最准的应力解答。
将这些待定系数代入到(4.5)，(4.6)和(4.7)，得到各个应力分量为： 应力函数与应力分量之间的关系为：
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(7) 应力结果的讨论。
以上应力表达式在远离支座的区域内是准确的。我们知道，在梁的跨中，弯矩取得最
大值，所以弯曲应力σx 在跨中最大。从弯曲应力σx 的（4.24）的化简过程可以看出，该应 力分量沿着梁的截面高度Y分布除了第一个线性（材料力学解答）项外，叠加了一个非线 性项，这一项就是对材料力学解答的修正项。这一修正项在梁的下边缘y＝0和上边缘y=1处的值为：
由此可以看出，深梁和细长梁在最大弯矩截面引起的拉压应力，差别不大。代入数值， 可以得到最大应力为σxmax=18.95q=94750Pa。
从竖向应力σy 的表达式(4.25)可以看出，它与水平位移无关，只与竖向坐标y有关。远 离支座区域的竖向应力的最大值为5000 ymax s ???q ????PPaa，最小值为0。
剪应力和截面位置有关，并且和截面上的总剪力成正比，呈抛物线分布。这一结论和 材料力学中的梁内剪应力分布规律相同。在支座附近剪应力最大，且最大值达到：
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(8) 用图形显示应力结果。
由表达式(4.24)至(4.26)描述的应力分布可以在Maple环境中，给出它们的等值线图。图 4.2描述的是不同截面上的水平应力σx 沿着梁的横截面高度的分布情况，应力从小到大对 应的截面位置分别是0.5m，1m，1.5m，1m，2.5m。图4.3描述的是水平应力σx 在梁内分布的等值线图。
图4.2 均布荷载作用下深梁内的不同截面上的水平应力分布图
图4.3 均布荷载作用下深梁内的水平应力分布等值线图
图4.4描述的是竖向应力σy 在梁内任意位置横截面上沿着高度的分布情况。
图4.5描述的是竖向应力σy 在梁内分布的等值线图。
图4.4 均布荷载作用下深梁任意横截面位置沿着高度方向竖向应力分布情况