数学建模第二次大作业
A：关于地方日报的最优订阅价格
姓名：姚枭20137692，
王虎20137708 王凯20137713
年级、专业：机械工程系机制一班
关于地方日报的最优订阅价格 一、摘要
本题目是讨论关于地方日报的最优订阅价格，这里我们用了灵敏性来分析了日报的价格与日报的订阅人数的关系。问题一运用了Mathematica建立了相应的模型，求出了订阅人数与价格之间的关系。问题二和问题三中，从灵敏性方面进行分析，得到日报的最优价格。运用表格与图像使结果更加鲜明。
关键词：灵敏性、最优、关系
二、问题重述
一家有80000订户的地方日报计划提高其订阅价格。现在的价格为每周1.5美元。据估计如果每周提高订价10美分，就会损失5000订户。 问题：（1）求使利润最大的订阅价格？
（2）对（1）中所得结论讨论损失5000订户这一参数的灵敏性。分别假设这个参数值为：3000、4000、5000、6000及7000，计算最优订阅价格。
（3）设n=5000为提高定价10美分而损失的订户数。求最优订阅价格p作为n的函数关系。并用这个公式来求灵敏性S(p,n)。 （4）这家报纸是否应该改变其订阅价格？用通俗易懂的语言说明你的结论。
三、
1、直到达到最优价格或损失所有订户之前，每周日报的价格均提高0.1美元，损失5000订户。
2、订户在订阅日报之后没有退订情况发生。 3、日报订阅价格每周七天均保持不变。 4、订户每户只能订一份日报。
5、生产的日报能满足所有用户的需求。
四、符号说明
p 利润最大时日报的订阅价格（单价） 单位：美元/份 T 提高到最优价格所用的周数 r 每周提高的订价 单位：美元/份
ｎ 每周价格提高之后损失的订户数 单位：户 Ｋ 第Ｔ周的订户数 单位：户 Ｑ 第T周日报的净利润 单位：美元 F 起始的日报总订户数 F=80000（户）
五、模型的建立与求解(含问题分析) 5.1.1问题一的分析
提高到最优价格所用的周数T(P)=(P-1.5)/r=(P-1.5)/0.1 第T周的定户数K(P)=F-n*T(P)=80000-[(P-1.5)/0.1]*5000 则T周日报的净利润Q(p)=K(P)*P=[80000-[(P-1.5)/0.1]*5000]*P
5.1.2问题一的建立
Max Q(P)= [80000-[(P-1.5)/0.1]*5000]*P (P≥1.5) 5.1.3问题一的求解
由Q(P)函数是一个连续可微的函数。可以利用微积分知识求解，用mathematica求解： （1） 求得驻点
D[(80000 - ((P - 1.5)/0.1)*5000)*P , P] 80000 - 50000. (-1.5 + P) - 50000. P
Solve[80000 - 50000. (-1.5 + P) - 50000. P == 0, P] 驻点为：{{P -> 1.55}}
（2） 根据模型可画出函数Q(p)的图像为
1200001180001160001140001120001.51.61.71.81.92.0 有图像可知Q（p）在（1.4,1.55]处单调递增，在[1.55,+?) 处单调递减，则p=1.55是Q(P)函数的极大值。
依题意可知日报价格提高了0.05美元，不符合每周提高0.1美元的要求。 不提高价格：Q=120000
提高0.1美元的要求：Q=120000
由题意知提高价格会减少用户的数量，则会减少报社的日工作量，则选择p=1.6
5.2.1问题二的分析
由于模型建设中的参数（日报价格提高的幅度对应的订户数减少的数量）是估计与测量的，所应应该研究它变化时对模型结果的影响。
5.2.2问题二的建立
考虑r=0.1不变,n发生变化时,日报最优订阅价格关于价格每周提高r美元减少的用户数量的灵敏性
Max P=(80000+1.5*n/0.1)*(0.1/n)(n>o) 5.2.3问题二的求解
n p 2.521.510.5030004000500060007000300040005000600070003000 2.08 4000 1.75 5000 1.55 6000 1.41 7000 1.32
由图可知，函数在单调递减，随着n增加，价格p在减少。