黄桥中心学校 九年级数学讲学稿
22.4 二次函数与一元二次方程讲学稿
执笔： 李新丰 审核： 焦道胜 金峰
教学目标：
1． 会用函数图象的交点解释方程的根的意义；
2． 能结合二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的存在性和根的个数；
3． 了解函数的零点与对应方程根的联系． 教学重点：
根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数． 教学难点
根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数． 教学过程：
一、 提出统摄性问题，创设适宜情境，引入新课
我们知道，等式x2-2x-3=0是关于x的一元二次方程，关系式y =x2-2x-3则是关于自变量x的一个二次函数，那么，二次函数与对应的一元二次方程有什么关系？它们有哪些联系？这些联系对于研究函数问题有怎样的作用？这就是我们这节课所要研究的问题．
（引入新课，书写课题——二次函数与一元二次方程） 二、 学生活动
（一） 探究二次函数与对应的一元二次方程之间的关系
问题1：你能快速地求出一元二次方程x2—2x—3=0的根吗？
请画出二次函数y =x2-2x-3的图象．（生动手画图，师生共同归纳画二次函数图象的步骤）
方法引导：画二次函数简图的步骤：
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（１） 先根据二次项系数确定图象的开口方向，即当a>０时，图象开口向上；当a<０时，图象开口向下．
（２） 再根据x=?b2a画出函数的对称轴．
（３） 确定函数图象与两坐标轴的交点，成图．
问题2：请观察你所画的函数图象，研究图象上的一些特殊点以及二次方程x-2x-3=0的根，你有什么发现吗？
（组织学生交流，得出如下结论） 结论：
（１） 一元二次方程x-2x-3=0的两个实数根就是二次函数y =x-2x-3的图象与x轴交点的横坐标．
（２） 一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根即为二次函数y =x2-2x-3的函数值等于０时的自变量x的值．
问题3：研究一元二次方程x2-2x-3=0的根的个数及其判别式与二次函数y =x2-2x-3的开口方向和顶点位置，你能得到什么结论？
结论：
（１） 一元二次方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根，判别式Δ＞０； （２） 二次函数y =x2-2x-3的开口向上，顶点在x轴下方；
（３） 方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根?判别式Δ＞０?对应的二次函数y =x2-2x-3的开口向上且顶点在x轴下方；
问题4：你能将这个结论进行推广吗？（学生思考，同时投影显示如下问题） 合作探究：一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的个数及其判别式与二次函数y= ax2+bx+c=0(a>0)的开口方向和顶点位置之间有什么联系？
（师生共同结合函数ax+bx+c=0(a>0)的图象的不同情形，得出如下结论） 方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个不相等的实数根?判别式Δ＞０?对应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口向上且顶点在x轴下方；
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方程ax+bx+c=0(a>0)有两个相等的实数根?判别式Δ＝０?对应的二次函数y =ax+bx+c(a>0)的开口向上且顶点在x轴上；
方程ax2+bx+c=0(a>0)没有实数根?判别式Δ＜０?对应的二次函数y =ax+bx+c(a>0)的开口向上且顶点在x轴上方．
也就是说，判断一个方程是否有解以及解的个数的问题，可以转化为讨论对应的二次函数的图象开口方向以及顶点与x轴的位置问题．
也可以通过二次函数对应的二次方程的根的个数来判断二次函数的开口方向以及顶点位置．
思考：当二次函数y =ax2+bx+c(a＜0)时，是否也有类似的结论呢？ （二） 函数与方程关系的应用
[例1]求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根． 根据我们前面研究的结论，你觉得应该如何完成上题的证明呢？
证法一：因为一元二次方程2x2+3x-7=0 的判别式Δ=32-4×2×（-7）=65>0,所以方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根．
证法二：设f(x)= 2x2+3x-7，因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，即f(?34)?2(?34)?3?(?22
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34)?7??7?0，所以函数f(x)= 2x+3x-7
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图象与x轴有两个不同的交点，即方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根．
思考：该题还有其他证法吗？
［例２］右图是一个二次函数y=f(x)的图象． （１） 写出这个二次函数的零点； （２） 写出这个二次函数的解析式； （３） 试比较f(-4)?f(-1)，f(０)?f(２)与０的大小关系．
问题：什么是函数的零点？
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所谓函数的零点，是指函数图象上函数值为０的点的横坐标，你能说出求函数零点的本质是什么吗？
求函数的零点即解与函数对应的方程． 问题：你能由图中找到二次函数的零点吗？
请同学们回顾一下初中确定一个二次函数的解析式都有哪些方法呢？ ［学生交流归纳求二次函数解析式的常见方法］
方法一：设函数解析式为y =ax2+bx+c(a≠0)，再根据题意得到关于a、b、c的三个方程，联立方程，解方程组确定出y =ax2+bx+c(a≠0)．
方法二：根据题中具体要求，也可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2),进而求出函数的对应变量的值．
方法三：也可设解析式为顶点式，进而求出函数的解析式．
问：你能根据题目的具体条件选拔具体的方法确定上题中函数的解析式吗？ （师板书解题过程）
（３） 解：由（1），可知这个函数的解析式可设为f(x)=a(x+3)(x-1),由f(-1)=4可知a=-1，故f(x)=- (x+3)(x-1),即这个二次函数的解析式为f(x)=-x2-2x+3.
方法引导：要比较二次函数图象上两个自变量所对应的函数值的乘积与0的大小关系，只需判断各个自变量的值的大小、正负以及函数零点之间的关系．
（４） 解：由函数图象可知f(-4) ·f(-1)=-20<0,f(0)·f(2)=-15<0．
三、 课堂小结
1． 一元二次方程根的个数的判断方法； 2． 函数的零点和方程的根的联系． 四、 布置作业
课本第30页习题第1、2、3题．
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f(-4)=-5，f(-1)=4,f(0)=3,f(2)=5,所以