习题8?7
1? 求函数z?x2+y2在点(1? 2)处沿从点(1? 2)到点(2, 2?3)的方向的方向导数 解 因为从点(1? 2)到点(2, 2?3)的向量为l?(1, 3)? 故
?s, co?s)? el?l?(1, 3)?(co|l|22 又因为
?2x(1,2)?2? ?z ?z?2y(1,2)?4? ?x(1,2)?y(1,2)故所求方向导数为
s??zco?s?2?1?4?3?1?23? ?z??zco??l?x?y22 2? 求函数z?ln(x?y)在抛物线y2?4x上点(1? 2)处? 沿这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数?
解 方程y2?4x两边对x求导得2yy??4? 解得y??2?
y 在抛物线y2?4x上点(1? 2)处? 切线的斜率为y?(1)?1? 切向量为l?(1? 1)? 单位切向量为el?(1, 1)?(cos?, cos?)?
22 又因为
?z?1 ?1? ?z?1 ?1?
?x(1,2)x?y(1,2)3?y(1,2)x?y(1,2)3故所求方向导数为
s??zco?s?1?1?1?1?2? ?z??zco??l?x?y3232322y2y2abxx 3? 求函数z?1?(2?2)在点(, )处沿曲线2?2?1在这点的内法
abab22线方向的方向导数?
2y22yx 解 令F(x,y)?2?2?1? 则Fx?2x? ? F?yaba2b2从而点(x? y)处的法向量为
2y n??(Fx, Fy)??(2x, )? 22ab在(a, b)处的内法向量为
222y, ) n??(2xa2b2(a,b)??(222, 2)? ab单位内法向量为 en?(? 又因为 ?z?x(a,b)??2(a,b)??a2222ba)?(co?, ?s, cos?)? 2222a?ba?b2x2? ?za?y(a,b)22??2yb2(a,b)??222? b所以 ?z??zco?s??zco?s?2?b?2?a?2a2?b2?
?n?x?yaa2?b2ba2?b2ab 4? 求函数u?xy2?z3?xyz在点(1? 1? 2)处沿方向角为?? ?? ?? ?? ?? ?334的方向的方向导数?
解 因为方向向量为l?(cos?,cos?,cos?)?(1, 2, 1)? 又因为
222?(y2?yz)(1,1,2)??1? ?u?x(1,1,2) ?u?(2xy?xz)(1,1,2)?0?
?y(1,1,2)?(3z2?xy)(1,1,2)?11? ?u?z(1,1,2)所以 ?u??ucos???ucos???ucos??(?1)?1?0?2?11?1?5?
?l?x?y?z222 5? 求函数u?xyz在点(5?1?2)处沿从点(5? 1? 2)到点(9? 4? 14)的方向的方向导数?
解 因为l?(9?5? 4?1? 14?2)?(4? 3? 12)? el?l?(4, 3, 12)? 并且
|l|131313?u?yz(5,1,2)?2? ?u?xy(5,1,2)?5? ?u?xz(5,1,2)?10?
(5,1,2)(5,1,2)?x?z?y(5,1,2)所以 ?u??ucos???ucos???ucos??2?4?10?3?5?12?98? ?l?x?y?z13131313 6? 求函数u?x2?y2?z2在曲线x?t? y?t2? z?t3上点(1? 1? 1)处? 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导?
解 曲线x?t? y?t2? z?t3上点(1? 1? 1)对应的参数为t?1? 在点(1? 1? 1)的切线正向为
l?(1, 2t, 3t2)t?1?(1, 2, 3)? el?l?(1,2,3)?
|l|141414?u?2z(1,1,1)?2? ?2x(1,1,1)?2? ?u又 ?u?2y(1,1,1)?2?
(1,1,1)(1,1,1)?z?x?y(1,1,1)??ucos???ucos???ucos??2?1?2?2?2?3?12? 所以 ?u?l(1,1,1)?x?y?z14141414 7? 求函数u?x?y?z在球面x2?y2?z2?1上点(x0? y0? z0)处? 沿球面在该点的外法线方向的方向导数?
解 令F(x? y? z)?x2?y2?z2?1? 则球面x2?y2?z2?1在点(x0? y0? z0)处的外法向量为
n?(Fx, Fy, Fz)(x,y,z)?(2x0, 2y0, 2z0)?
000s,cos?,co?s)? en?n?(x0, y0, z0)?(co?|n|又 ?u??u??u?1?
?x?y?z?u??uco?s??ucos???uco?s?1?x0?1?y0?1?z0?x0?y0?z0? 所以
?n?x?y?z 8? 设f(x? y? z)?x2?2y2?3z2?xy?3x?2y?6z? 求grad f(0? 0? 0)及grad f(1? 1? 1)?
?f?f?f?4y?x?2? ?2x?y?3? ?6z?6? ?y?x?z 因为
?f?f?f??2 ? ? ?3??6?
?y(0,0,0)?x(0,0,0)?z(0,0,0)?f?f?f?3 ? ? ?6?0?
?y(0,1,1)?x(0,1,1)?z(0,1,1)所以 grad f(0? 0? 0)?3i?2j?6k?
解
grad f(1? 1? 1)?6i?3j?
9? 设u? v都是 x? y? z的函数? u? v的各偏导数都存在且连续? 证明 (1) grad(u?v)?grad u? grad v?
?(u?v)?(u?v)?(u?v)i?j?k 解 grad(u?v)??x?y?z ?(?u??v)i?(?u??v)j?(?u??v)k
?x?x?y?y?z?z ?(?ui??uj??uk)?(?vi??vj??vk)
?x?y?z?x?y?z?gravd ?graud?
(2) grad (uv)?vgrad u?ugrad v? ?(uv)?(uv)?(uv)i?j?k 解 grad(uv)??x?y?z ?(v?u?u?v)i?(v?u?u?v)j?(v?u?u?v)k
?x?x?y?y?z?z?u?uj??uk)?u(?vi??vj??vk) ?v(i?
?x?y?z?x?y?z ?vgrad u ?ugrad v? (3) grad (u2)?2ugrad u?
222?u?u?u2grad(u)?i?j?k?2u?ui?2u?uj?2u?uk 解
?x?y?z?x?y?z?u?uj??uk)?2ugraud? ?2u(i??x?y?z
10? 问函数u?xy2z在点p(1? ?1? 2)处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方向导数的最大值?
解 grad u??ui??uj??uk?y2zi?2xyzj?xy2k?
?x?y?z grad u(1, ?1, 2)?(y2zi?2xyzj?xy2k)(1,?1,2)?2i?4j?k? grad u(1? ?1? 2)为方向导数最大的方向? 最大方向导数为 |grad u(1, ?1, 2)|?22?(?4)2?12?21?