§2.5.2离散型随机变量的方差和标准差（一） 教学目标
1．理解随机变量的方差和标准差的含义；
2．会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题． 教学重点：理解离散型随机变量的方差、标准差的意义
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 教学过程 一、自学导航 1．复习：
⑴离散型随机变量的数学期望
X P x1 x2 p1 … xn p2 … pn EX?x1p1?x2p2???xipi???xnpn， 数学期望是反映离散型随机变量的平均水平 ⑵特殊的分布的数学期望 若X~0-1分布 则E(X) ＝p； 若X~B(n,p) 则E(X)＝np； 若X~H(n,M,N) 则E(X)＝2．思考：
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1,X2表示，X1,X2的概率分布如下．如何比较甲、乙两个工人的技术？
nM NX1 0 0.6 .2 1 0.1 2 0.1 3 0pk X2 0 0.5 .3 1 0.2 2 03 0 pk 3．学生活动
我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？
二、探究新知
1．一般地，若离散型随机变量X的概率分布如表所示：
X … xn x1 x2 … pn P p1 p2 则(xi??)2(??E(X))描述了xi(i?1,2,...,n)相对于均值?的偏离程度， 故(x1??)2p1?(x2??)2p2?...?(xn??)2pn， （其中pi?0,i?1,2,...,n,p1?p2?...?pn?1）
刻画了随机变量X与其均值?的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或?2．
2．方差的意义:方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量.如果V(X) 值大, 表示X 取值分散程度大, EX 的代表性差;而如果 V(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以 EX 作为随机变量的代表性好. 3．方差公式也可用公式V(X)??xipi??2计算．
2i?1n4．随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差，即??V(X)．
思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？
三、例题精讲
例1 若随机变量X的分布如求方差V(X)和标准差V(X)． 解：因为??0?(1?p)?1?p?p，所
P 1-p X 0 p 以
1 表所示：
V(X)?(0?p)2(1?p)?(1?p)2p?p(1?p)，
V(X)?p(1?p)
例2 求第2.5.1节例1中超几何分布H(5,10,30)的方差和标准差． 解：第2.5.1节例1中超几何分布如表所示：
X P 0 2584 237511 8075 237512 8550 237513 3800 237514 700 237515 4223751n52数学期望??，由公式V(X)??xipi??2有
3i?12584807585503800700425?1??4??9??16??25??()22375123751237512375123751237513204750?0.9579 ?213759V(X)?0?故标准差 ??0.9787．
例3 求第2.5.1节例2中的二项分布B(10,0.05)的方差和标准差． 解： p?0.05，则该分布如表所示：
X 0 00C10p(1?p)1 11C10p(1?p)2 22C10p(1?p)3 33C10p(1?p)4 44C10p(1?p)5 55C10p(1?p)pk X 6 66C10p(1?p)7 77C10p(1?p)8 88C10p(1?p)9 99C10p(1?p)n10 1010C10p(1?p) pk 由第2.5.1节例2知??E(X)?0.5，由V(X)??xipi??2得
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