第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为 V2 = HA （1） p2= p1 经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为
V2??(H??H)A （2）
?? p2p2V2 （3） V2?渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为
V1??V1??HA（4）
（5）
??2?gΔHp1?p2式中??为水的密度，g为重力加速度．由理想气体状态方程pV?nRT可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数 ?n?
在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数 N??nNA （7）
式中NA为阿伏伽德罗常量．
渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了?p
?V1?p1V1p1 （6） ?RTRT?p?ΔnRT （8） V0经过2小时渗透室上部分中空气的压强为
??p0??p （9） p0测试过程的平均压强差 ?p?1??p1?)? （10） ?(p0?p1)?(p02根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数
k?Nd?ptS?2.4?1011Pa?1m?1s?1 （11）
评分标准：本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分．
二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角?1，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角?2，就可以计算出此时星体C与地心的距离OC． 因卫星椭圆轨道长轴的长度
1
AB?r近＋r远
(1)
式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒
mv近r近＝mv远r远 (2)
式中m为卫星的质量．由机械能守恒
A O ?1 B
1GMm1GMm22mv近－?mv远－ (3) 2r近2r远已知r近＝2R， v近＝3GM
4RC (4) (5)
(6)
得 r远?6R 所以 AB?2R?6R?8R 在△ABC中用正弦定理
sin?1BC?sin?π??1??2?AB所以 BC?sin?1AB (7)
sin??1??2?地心与星体之间的距离为OC，在△BOC中用余弦定理
2OC?r远?BC?2r远?BCcos?2 (8)
22由式(4)、(5)、(7)得 OC?2R9?16sin2??1??2?sin2?1?24sin?1co?s2 (9)
??1??2?sin评分标准：
本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分．
三、因?子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命
?0?2.0?10?6s
根据时间膨胀效应，在地球上观测到的?子平均寿命为?，
???01??vc?－
2 (1)
代入数据得 ? = 1.4×105s (2)
相对地面，若?子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的?子数为
N?t??N?0?e?t?
根据题意有
(3)
N?t??e?t??5% (4) N?0?对上式等号两边取e为底的对数得 t???ln代入数据得 t?4.19?10?5s
5 100 (5)
(6)
2
根据题意，可以把?子的运动看作匀速直线运动，有h?vt (7)
代入数据得 h?1.24?104m (8) 评分标准：
本题15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分．
四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1
?、S2?、S3?为三个光束中心光线与该平面的交点． S2O2 所示．图中MM?表示组合透镜的平面，S1＝ u就是物距．根据透镜成像公式
M 111? (1) ???uL?ufS1 S? h O1 1P ??S 2O(S’) 221 z u?[L?L2?4fL] h O 2圆2 ??3S3’ 因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于L P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能u M’ 交叉，必须有2utan? ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得
u?(6?32)h≈1.757h (2)
此解满足上面的条件．
分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有
图1 L?u11h?(?2)h?0.854h (3) L24?之下与S1?的距离为 即光心O1的位置应在S1?O1?h?O1O2?0.146h S1(4)
?之上与S3?的距离为0.146h处．由(3)同理，O3的位置应在S3 O1O2?O2O3?K 式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于C1 圆1 0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点．
S1’ 2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透0.146h O1 0.439h 镜． Q W2 Q’ x2 T 因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置h T’ N 0.854h N’ 到O1、O2、O3处时，由于O1O2＝O2O3＝0.854h<2r，透镜必x1 0.439h W1 然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然
O2 (S2’) 后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，
圆2 我们只需讨论上半部分的情况．
C2’ 图2画出了L1、L2放在MM?平面内时相互交叠的情况
?、（纸面为MM?平面）．图中C1、C2表示L1、L2的边缘，S1图2
?S2为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与
?为圆心的圆1和以S2?（与O2重合）为圆心的圆2分别是光源S1和S2投射到L1O1O2的交点． S1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为
??utan??0.439h (5) 根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知
3
???0.439?0.146?h?0.585h?r?0.75h (6) O1K???O1S1故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须
保留圆1和圆2内的透镜部分．
下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线QQ?和NN?．若沿位于QQ?和NN?之间且与它们平行的任意直线TT?对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．
现在计算QQ?和NN?的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图2所示，则对任意一条切割线TT?， x1、x2之和为
d?x1?x2?2r?O1O2?0.646h
（7）
由于TT?必须在QQ?和NN?之间，从图2可看出，沿QQ?切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)，
?O1?? x1M?r?S1?O1的值，得 x1M?0.457h (8) 代入r，??和S1代入(7)式，得 x2m?d?x1M?0.189h (9)
由图2可看出，沿NN?切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)，
x2M?r??
代入r和??的值，得 x2M?0.311h (10)
x1m?d?x2M?0.335h （11）
由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同． 评分标准：
本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，
第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．
如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．
五、1．解法Ⅰ：
?的?的位置应位于OP1的延长线上的某点B1处，q2如图1所示，S为原空腔内表面所在位置，q1位置应位于OP2的延长线上的某点B2处．设A1
A1 为S面上的任意一点，根据题意有
kq1A1P1q2A1P2?k?q1A1B1?q2?0 (1)
B2
SO ??P2 a a P1 R图1 B1
k?kA1B2?0 (2)
怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中?OP1A1与?OA1B1的关系．
?的位置B1使下式成立，即 若等效电荷q1
2OP1?OB1＝R
(3)
4
即
OP1OA1?OA1OB1 (4)
则△OPOA1B1 有 1A1∽△A1P1A1B1?OP1OA1?a (5) R (6)
? 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷q1???q1Rq1 a?的位置B1到原球壳中心位置O的距离 由 (3) 式知，等效电荷q1R2 OB1?
a(7)
同理，B2的位置应使△OP2A1∽△OA1B2，用类似的方法可求得等效电荷
???q2Rq2 a(8)
?的位置B2到原球壳中心O位置的距离 等效电荷q2R2 OB2?
a解法Ⅱ：
(9)
?两者在A1点产生的电势和?，OB1?d．根据题意，q1和q1在图1中，设A1P1?r1，A1B1?r1为零．有
kq1q?） ?k1?0 ＇
?r1r1式中 r1?(R2?a2?2Racos?)12 （2＇）
） r1??(R2?d2?2Rdcos?)12 （3＇
由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得
2?(R2?a2?2Raco? q1） (R2?d2?2Rdco?s)?q1s) （4＇
2（4＇）式是以cos?为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意?均成立，等号两边的相应系数应
相等，即
2?(R2?a2) （5＇） q1(R2?d2)?q12?a （6＇） q1d?q122由（5＇）、（6＇）式得ad2?(a2?R2)d?aR2?0 （7＇）
5