离散数学试题与答案试卷一
一、填空 20% （每小题2分）
1．设
A?{x|(x?N)且(x?5)},B?{x|x?E?且x?7}（N：自然数集，E+ 正偶数） 则
A B C A?B? {0，1，2，3，4，6} 。
2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 (B?C)?A。
3．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则 4．公式(P?R)?(S ?(P?(Q?(R??P)))?(R??S)的真值= 1 。
?R)??P的主合取范式为(?P?S?R)?(?P??S?R)。
5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则 ?xP(x)??xP(x) 在I下真值为 1 。 6．设A={1，2，3，4}，A上关系图为则R2 = {,,,
? IA 。
8．图的补图为
9．设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下：
* a b c d a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c
那么代数系统的幺元是 a ，有逆元的元素为 a , b , c ,d，它们的逆元分别为 a , d , c , d 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。
二、选择 20% （每小题 2分）
1、下列是真命题的有（CD ）
A． {a}?{{a}}； B．{{?}}?{?,{?}}；C．??{{?},?}； D． 2、下列集合中相等的有（ BC ）
A．{4，3}??；B．{?，3，4}；C．{4，?，3，3}；D． {3，4}。 3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（ C ）个。 A． 23 ； B． 32 ； C． 2； D． 3。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（ A ） A．若R，S 是自反的， 则R?3?32?2{?}?{{?}}。
S是自反的；
B．若R，S 是反自反的， 则R?S是反自反的；
1
C．若R，S 是对称的， 则R?S是对称的；
D．若R，S 是传递的， 则R?S是传递的。
5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下
R?{?s,t?|s,t?p(A)?(|s|?|t|}则P（A）/ R=（ D ）
A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}； D．{{?}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}
6、设A={?，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为（ C ）
7、下列函数是双射的为（ A ）
A．f : I?E , f (x) = 2x ； B．f : N?N?N, f (n) =
A． 0； B． 1； C． 2； D． 3。
9、下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是（ B ）
10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（A ）个4度结点。
A．1； B．2； C．3； D．4 。 三、证明 26%
1、R是集合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传递的，当且仅当
< a, b> 和在R中有<.b , c>在R中。（8分）
1、 证：“
?”
?a,b,c?X 若
, ? R由R对称性知
“?” 若 ? R， ? R有
? R?
若 ? R，
R是传递的。
2
2、f和g都是群
{x|x?G1且f(x)?g(x)}
(8分)证
?a,b?C，有
f(a)?g(a),f(b)?g(b)，又
f(b?1)?f?1(b),g(b?1)?g?1(b)?f(b?1)?f?1(b)?g?1(b)?g(b?1)
?f(a★b?1)?f(a)*f?1(b)?g(a)*g(b?1)?g(a★b?1)
?a★b?1?C ?< C , ★> 是 < G1 , ★>的子群。
3
、G=
e?k(v?2)k?2， 由
证：①设G有r个面，则
2e??d(Fi)?rki?1rr?，即
2ek。而
v?e?r?2故
2?v?e?r?v?e?2ek(v?2)e?k即得 k?2。（8分）
e?k(v?2)k?2不成立，
②彼得森图为k?5,e?15,v?10，这样
所以彼得森图非平面图。（3分） 四、逻辑推演 16%
用CP规则证明下题（每小题 8分）
1、
A?B?C?D,D?E?F?A?F
A P（附加前提） ②A?B
T①I T②③I T⑤I
③
证明：①
A?B?C?D P ④C?D
E
⑤D ⑦D?⑨
T④I ⑥D?E?F
P ⑧F CP
T⑥⑦I
A?F
2、?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x)
US①
①?xP(x) P（附加前提） ②P(c) ③?x(P(x)⑤Q(c) ⑦?xP(x)?Q(x)) P ④P(c)?Q(c)
US③
T②④I ⑥?xQ(x)
UG⑤
??xQ(x)
CP
五、计算 18%
1、设集合A={a，b，c，d}上的关系R={ ,< b , a > ,< b, c > , < c , d >}用矩阵运算求出R的传递闭包t (R)。 （9分） 解：
?0??1MR??0??0?100001000??10??0??01M?M?M?RRR2?001?????000? ， ?10000??1?0??0??
3
MR3?MR2?0??1?MR??0??0??1??0?MR??0??0?10000100010010001??0?0??0??0??1?0??0???1??1??0??0?110011001??1?1??0??
，
MR4?MR3Mt(R)?MR?MR2?MR3?MR4?
t (R)={ , , < a , c> , , , < b ,b > , < b , c . > ,
< b , d > , < c , d > }
2、如下图所示的赋权图表示某七个城市v1,v2,?,v7及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，
试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。 （９分）
解： 用库斯克（Kruskal）算法求产生的最优树。算法略。结果如图：
树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。
试卷二试题与答案
一、填空 20% （每小题2分）
1、P：你努力，Q：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为?P是失败了”的翻译为P?Q 。
2、论域D={1，2}，指定谓词P则公式?x?yP(y,x)真值为 T 。
P (1,1) T 3、设
P (1,2) T P (2,1) F SP (2,2) F 的子集，则由B31所表达的子集是
?Q；“虽然你努力了，但还
S={a1 ，a2 ，?，a8}，Bi是B31?B000111?{a4,a5,a6,a7,a8} 。 11}，则R= 4、设A={2，3，4，5，6}上的二元关系R?{?x,y?|x?y?x是质数
R={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<4,5>,<4,6>,<5,2>,<5,3>,<5,4>,<5,5>,<5,6>}（列举法）。
4
R的关系矩阵MR=
?1??1?0??1?0? 。
5、设A={1，2，3}，则A上既不是对称的又不是反对称的关系R= R={<1,2>,<1,3>,<2,1>}； ；A上既是
对称的又是反对称的关系R= R={<1,1>,<2,2>,<3,3>} 。
6、设代数系统，其中A={a，b，c},则幺元是 A ；是否有幂等性 否 ；是否有对称性 有 。
* a b c 7、4阶群必是 Klein四元群 群或 循环群 群。
a a b c
b b b c
c c c b 8、下面偏序格是分配格的是 B 。
1111??1111?0011??1111?0000??
1n(n?1)9、n个结点的无向完全图Kn的边数为 2，欧拉图的充要条件是图中无奇度结点且连通。 10、公式(P?(?P?Q))?((?P?Q)??R的根树表示为
二、选择 20% （每小题2分）
1、在下述公式中是重言式为（ BD ）
A．(P?Q)C．?(P?(P?Q)；B．(P?Q)?((P?Q)?(Q?P))；
?Q)?Q； D．P?(P?Q)。
2、命题公式 (?P?Q)?(?Q?P) 中极小项的个数为（D），成真赋值的个数为（ D ）。 A．0； B．1； C．2； D．3 。 3、设S?{?,{1},{1,2}}，则 2S 有（ D ）个元素。A．3； B．6； C．7； D．8 。
4、设S?{ 1, 2, 3 }，定义S?S上的等价关系
R?{??a,b?,?c,d? | ?a,b??S?S,?c,d??S?S,a?d?b?c}则由 R产 生的
S?S上一个划分共有（ B ）个分块。
A．4； B．5； C．6； D．9 。
5