01.量子力学基础知识
【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ·mol-1为单位的能量。
解：
?????c?1??2.998?10m?s670.8m1670.8?10?78?1?4.469?10s?1.491?10cm414?1
?1?cm23E?h?NA?6.626?10?34J?s?4.469?10s-1 14?1-1 ?6.6023?10mol
【1.2】 实验测定金属钠的光电效应数据如下： 波长λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1
-19光电子最大动能Ek/10J 3.41 2.56 1.95 0.75 作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν0)。
解：将各照射光波长换算成频率v,并将各频率与对应的光电子的最大动能Ek列于下表： λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1 v/1014s－1 9.59 8.21 7.41 5.49 Ek/10－19J 3.41
由表中数据作图，示于图1.2中
2.56
?178.4kJ?mol
1.95 0.75
4Ek /10J-19321045678914-1??10g10
图1.2 金属的
Ek??图
由式 推知
hv?hv0?Ek
h?Ekv?v0??Ek?v
即Planck常数等于Ek?v图的斜率。选取两合适点，将Ek和v值带入上式，即可求出h。
h?例如：
?2.70?1.05??10?19J?8.50?600??1014s?1?6.60?10J?s34
1
14?1图中直线与横坐标的交点所代表的v即金属的临界频率v0，由图可知，v0?4.36?10s。
因此，金属钠的脱出功为：
W?hv0?6.60?10?34J?s?4.36?10s14?1
?2.88?10?19J
【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s-1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？
解：
hv?hv0?112mv2
?2h?v?v0??2????m??1??2.998?10m?s?342?6.626?10J?s???9300?10m????31?9.109?10kg??8?1?5.464?10s14?1??2???????
1?2?6.626?10J?s?4.529?10s???319.109?10kg??8.12?10m?s
5?1?3414?1?2??
【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：
（a） 质量为10kg，运动速度为0.01m·s的尘埃； （b） 动能为0.1eV的中子； （c） 动能为300eV的自由电子。
解：根据关系式：
-10
-1
??(1)
(2)??hmvhp??6.626?1010h2mT?10?34J?s?1kg?0.01m?s?6.626?10?22m
?2?1.675?10 ?9.403?10mhh(3) ???p2meV-11?276.626?10?34J?s?19kg?0.1eV?1.602?10J??eV??1
? ?7.08?10?116.626?102?9.109?10m?31?34J?s?19kg?1.602?10C?300V
2
【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV，计算电子加速后运动时的波长。
解：根据de Broglie关系式：
???hp?hm??h2meV6.626?10?34J?s?192?9.109?10?12?31kg?1.602?10C?2?10V5?2.742?10m
【1.6】对一个运动速度??c（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：
①②mv?p?m??12m?h③??h?v④?Ev⑤?12mv
结果得出的结论。上述推导错在何处？请说明理由。
E?hvp?h/?
解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立
式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：
p?m?
知 ①，②，④和⑤四步都是正确的。 微粒波的波长λ服从下式：
??u/v
式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ ，但③中用了??u/v，显然是错的。
在④中，E?hv无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量。若计及E中的势能，则⑤也不正确。
【1.7】子弹（质量0.01kg，速度1000m·s-1），尘埃（质量10-9kg，速度10m·s-1）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg，速度1m·s-1）、原子中电子（速度1000 m·s-1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？
解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为： ?x?hm??vhm??v?6.26?10?34J?s?1子弹：
?x?0.01kg?1000?10%m?s6.626?10?9?34?6.63?10?34m
?25?J?s?1尘埃：
10kg?10?10%m?s?6.63?10m
3
?x?hm??vhm??v?6.626?1010?13?34J?s?1花粉：
?x?kg?1?10%m?s6.626?10?6.63?10?20m
?1?34?J?s电子：
9.109?10?31kg?1000?10%m?s?7.27?10?6m
【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度??为?的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：?x???3.88?10?10hm????hm?2eV/m?10%6.626?10?34J?s?10?192?9.109?10m?31kg?1.602?10C?10V3
这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。
【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约10m）观察不到电子衍射（用100000V电压加速电子）。
解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为： ?x?h?px?hh/??9?6?1.226?10?1m?91Vm?1.226?10??1.226?10?1110000m
这不确定度约为光学光栅周期的10－5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5倍，用光学光栅观察不到电子衍射。
解法二：若电子位置的不确定度为10－6m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：
?px?h?x?6.626?10?6?28?34J?s10m?1?6.626?10J?s?m4
在10V的加速电压下，电子的动量为：
px?m?x??2meV?31
2?9.109?10?23kg?1.602?10?1?19C?10V4?5.402?10J?s?m由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：
4
??arcsin??arcsin?pxpx?6.626?10?28J?s?m?1??arcsin??23?1??5.402?10J?s?m??arcsin10?0o?5
这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射。
【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符：
x,d,d22dxdxdx 解：由线性算符的定义：
,log,sin,,id?(???)?A???A??Aijix,d,d2j
id2dxdx为线性算符;而dx为线性自轭算符.
?d222??4ax?2?2?axdx?的本征函数，求其本征值。 【1.11】??xe是算符?解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：
2?d2?d222?22??ax?4ax???4axxe?2??2?dxdx???? 222d?ax22?ax?xe?4axxe2dx
222d?ax2?ax23?ax?e?2axe?4axedx??????2axe?ax2?4axe?ax2?4axe23?ax2?4axe23?ax2
??6axe??6a??ax2
因此，本征值为?6a。
dx22【1.12】下列函数中，哪几个是算符dx的本征函数？若是，求出本征值。
osx,,?xsin x e,sinx,2cx cos22ddx? ex22解：dx，e是dx的本征函数，本征值为1。
3d22dxd2sinx?1?sinx,d2sinx是dx2的本征函数，本征值为1。
dx
2(2cosx)?2cosx
5