2007-2008 学年 1 学期 高等数学A（上）A 卷 课程考试试题
拟题学院（系） : 数理学院 拟题人: 全校本、专科 适 用 专 业: 校对人:
（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）
一、填空题：（每小题3分，共15 分）
． 1、设?(x)在x?1处连续，f(x)?(x?1)?(x)，则f?(1)?___________.
2、设y?y(x)由方程ln(x2?y)?x3y?sinx确定，则y?(0)? 。 3、已知
?f(x)dx?x?C，则?xf(?x2)dx? 。
d x2sin(t?x)dt =__________________。 4、
dx? 1??5、向量a=（1，-2，2）在向量b=（2，2，1）上的投影是 。
二、选择题：（每小题3分，共15分） 1、n??时，nsin1是一个（ ） n
A) 无穷小量 B)无穷大量 C) 无界变量 D)有界变量 2、设y?xn?ex，则y(n)?（ ）
A) e B) n! C) n!?ne D) n!?e 3、函数f(x)? A)xxx1x?x(e?e)的极小值点为（ ） 20 B)1 C)2 D)?1
4、若F(x)是f(x)的一个原函数，则
?f(cotx)dx?（ ）
sin2xA) F(cotx)?C B) -F(cotx)?C C) F(sinx)?C D) -F(tanx)?C
5、方程y?2x?0所表示的曲面是（ ）
2 A) 柱面 B) 旋转曲面 C)双曲抛物面 D) 椭球面
三、计算题：（共28分）
1、求极限 limx?0ex?sinx?11?1?x2。（7分）
?x?f?(t)d2y. 2、设?，其中f??(t)存在且不为零，求2。（7分）
?y?tf(t)?f(t)dx?3、 求函数f(x)??x?0?sinx的导数。 （7分）
?ln(1?x)x?04、求不定积分
arcsinx?xdx。 （7分）
四、计算题：（共22分）
1、求定积分
x?3dx。 （7分） 2?x?5x?6452、求反常积分
lnx（7分） dx。?x043、求函数y?x?sinx的拐点及凹或凸的区间。（8分） 五、应用题：（10分）
?x?t?sint求摆线 ??y?1?cost图形的面积。
六、证明题：（10分）
1、当x?1时，
的一拱（0?t?2?）的长度以及摆线的一拱与x轴所围成的
ln(1?x)x? 。（5分） lnx1?x2、设f?x?在?0,1?连续，?0,1?内可导，且f?1??（5分） ?,??????，使得3f????4???1?f'???。
?f?x?dx，证明在?0,1?内存在
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07/08 学年 1 学期 高等数学A（上）A 卷 试题标准答案 拟题学院（系）： 数理学院 拟 题 人： 适用专业： 全校本、专科 书写标准答案人： 一、填空题（每小题3分，共15分）12x?C；2二、选择题（每小题3分，共15分）1?(1)；21；34(2x?1)sin(x2?x)?sin(1?x)；50。1D；2D；3A；4B；5A。三、计算题（每小题7分，共28分）1limx?0ex?sinx?11?1?x2ex?sinx?1?lim?1?1?x22x?01?1?x????3分23ex?sinx?1ex?cosxex?sinx?2lim?2lim?lim?17分x?0x?0x?02x1x2dydx?f??(t)?tf??(t)4分dtdtdyd2?t?dydydyd1??dt?dt?t???7分??dxdxdxf??(t)dx2dx?dx?dtdtxx?0??cos当x?0时，f?(x)??1；3分x?0??1?xln(1?x)?0sinx?0当x?0时，f??(0)?lim?1f??(0)?lim?1?f?(0)?1；x?0?x?0?x?0x?0xx?0??cos故而f?(x)??17分x?0??1?x4?arcsinxx?tdx令t?x2?arcsintdt?2?tarcsint??1?t2dt???2tarcsint??1?t????6分7分4分?12?2?d?1?t?2?2(xarcsinx?1?x)?C四、计算题（第1、2题7分，第3题8分，共22分）1x?3x?3AB???x2?5x?6(x?2)(x?3)x?2x?323A(x?3)?B(x?2)?x?3?A??5B?63分55dx5dxx?35分?4x2?5x?6dx?6?4x?3?5?4x?2?11ln2?5ln37分4lnx22lnu2?2udu?4limlnudu3分?0xdx令u?xtlim?0??tt?0??tu 21??2?4lim?2ln2?tlnt?2?t?5分?[ulnu]t??tudu??4tlim?t?0???0u?1lnt?1t?8(ln2?1)7分?8(ln2?1)?4lim?8(ln2?1)?4lim?1?2??t?0t?0tty??1?cosxy????sinx?0?x?k?(k?Z)4分列表分析：x …… y?? …… ??2?,??? 凸（—） ?? 拐点 ???,0? 凹（+） 0 ?0,?? ? ??,2?? 凹（+） …… …… 拐凸（—） 拐点 点 拐点为(k?,k?)。凸区间：（2m?,2m???）；凹区间：（2m???,2m??2?）（m?Z)。8分五、应用题（本题10分）12l??S??2?02??1?cost?y(x)dx??02t?sintdt?2?sindt?80222?5分22?0?1?cost?d(t?sint)??02??1?2cost?cost?dt?3?5分六、证明题（每小题5分，共10分）1证明：不妨设f(x)?(1?x)ln(1?x)?xlnx(x?1),则：2分1?xf?(x)?ln(1?x)?1?lnx?1?ln?0?f(x)单调增。4分x故而f(x)?f(1)?2ln2?0?(1?x)ln(1?x)?xlnx?0即：ln(1?x)x?。lnx1?x1405分2分4分5分
2证明：f(1)??f(x)dx?f(1)?1f(?)(??(0,1))4f(?)?f(1)?f?(?)(??1)(??(0,1))联立得：3????4(??1)f?(?)。