关于辽宁省各城市经济发展水平的多元统计分析
摘要：省作为国家的行政单位，要想详细地了解国家的经济情况，就应该较好的了解各省的经济发展水平，
而城市经济的发展是各省经济水平的良好体现，故由研究各城市的经济发展来展望省的经济发展情况。本文通过研究辽宁省14各城市的9个主要的经济指标，并通过主成分分析对这些指标进行了分析。提出了能够反映整个省经济状况的3个主分，并赋予了这些成分新的解释，最后得出各省的综合经济得分。
1 引言
2008年是具有历史性的一年，在这一年我国经济有了飞跃性的发展。各个省份作为国家的经济单元，国家经济是各个省份经济综合的结果。因此各个省份的经济发展对国家经济的崛起有着直接的推动作用，而各省主要城市的经济指标又是各省的经济发展的晴雨表，因此研究城市的发展水平就显得尤为重要。故此需要通过量化的经发展指标来反映，但是经济指标种类很多，哪一个指标才能有效地表达经济发展状况，下面以辽宁省为例来研究辽宁省各城市的各项经济指标对经济发展的影响。
2 城市经济指标体系的构建
评价经济发展水平的指标有很多，指标体系的构建是开展评价的前提。本文遵循系统全面性、代表性、政和县和简洁性原则[2]，选取了影响经济发展水平的9个指标，构建了影响经济发展水平的指标评价体系（见表1）
表1：经济指标体系
城市经济规模
居民生活水平
对外经济
地区生产总值X1 固定资产投资总额X2 各地区农民家庭人均纯收入X6
各地区城镇居民平均每人全年可支配收入X7 地方财政预算收入X3 地方财政预算支出X4 旅游收入X5 出口总额X8 进口总额X9
经济指标体系 基础经济
本文通过《辽宁省统计年鉴（2009）》，对相关数据进行了整理，共搜集了14个城市2008年的原始数据。
3 主成分分析
3．1 主成分分析法
主成分分析法就是通过降维技术把多个相关的指标变量化为几个线性无关的新的综合指标变量的一种统计分析方法[3]。
设原始变量为X1,X2,……,Xm,则主成分为F1,F2,……,Fm（n 学模型可以写为：Fi=a1iX1+a2iX2+……aniXn 需满足：（1）cov（Fi,Fj）=0，i≠j，i,j=1,…,n；（2）var（F1）> var（F2）> …>var（Fn）；（3）a1i2+ a2i2+…+ ani2=1，i=1,2,…,n. 主成分分析的具体步骤[4]： （1） 将原始数据标准化 （2） 建立变量的相关系数矩阵R=（rij）n×n （3） 求R的特征根?1??2???n及相应的单位特征向量 （4） 写成主成分Fi=a1iX1+a2iX2+……aniXn 3.2 经济指标的主成分分析 根据原始数据，运用matlab软件，把数据保存在ln.mat中，matlab程序如下： load ln [n,p]=size(ln); MEAN=mean(ln) ; %求各变量的均值 STD=std(ln); %求各变量的标准差 MEAN=ones(n,p)*diag(MEAN); STD=ones(n,p)*diag(STD); x=(ln-MEAN)./STD; %原始数据标准化 R=cov(x); [V,D]=eig(R); DD=[];%将特征值对角矩阵D改写为列向量DD for i=p:-1:1%此处要注意eig函数的输出D中特征值的排列顺序 DD=[DD;D(i,i)]; end OFFER=DD/sum(DD);%计算特征值的方差贡献率 cumOFFER=cumsum(DD)/sum(DD);%计算特征值的方差累计贡献率 OUTCOME=[DD,OFFER,cumOFFER] %综合输出计算结果 输出结果为特征值、方差贡献率和方差累计贡献率（见表2）： 表2：特征值、方差贡献率和累计方差贡献率 主成分 1 特征值 7.5488 方差贡献率 0.8388 累计方差贡献率 0.8388 2 3 4 5 6 7 8 9 0.7064 0.6030 0.1106 0.0189 0.0099 0.0011 0.0008 0.0004 0.0785 0.0670 0.0123 0.0021 0.0011 0.0001 0.0001 0.0000 0.9172 0.9842 0.9965 0.9986 0.9997 0.9999 1.0000 1.0000 由于前三个主成分的累计方差贡献率达到0.9842，故可选取前三个主成分分别作为反映经济发展水平的第一、第二和第三主成分。在matlab中输入PCACOV=V(:,end:-1:end-2)，求得正交单位化的特征向量矩阵的前三列（见表3）： 表3：三个主成分的系数向量 经济指标 地区生产总值X1 固定资产投资总额X2 地方财政预算收入X3 地方财政预算支出X4 旅游收入X5 各地区农民家庭人均纯收入X6 各地区城镇居民平均每人全年可支配收入X7 出口总额X8 进口总额X9 主成分 1 0.3517 0.3367 0.3571 0.3477 0.3555 0.3235 0.2759 0.3206 0.3234 2 -0.2218 -0.2958 -0.0930 -0.1600 0.2128 -0.1160 -0.4326 0.5474 0.5324 3 -0.2147 -0.3477 -0.2223 -0.3349 -0.0412 0.4611 0.6570 0.1112 0.1142 设第一、第二、第三主成分分别为F1、F2、F3，则线性组合分别为： F1=0.3517X1+0.3367X2+0.357X3+0.3477X4+0.3555X5+0.3235X6+0.2759X7+0.3206X8+0.3234X9 F2=-0.2218X1-0.2958X2-0.0930X3-0.1600X4+0.2128X5-0.1160X6-0.4326X7+0.5474X8+0.5324X9 F3=-0.2147X1-0.3477X2-0.2223X3-0.3349X4-0.0412X5+0.4611X6+0.657X7+0.11128X8+0.1142X9 第一主成分主要由地区生产总值X1、固定资产投资总额X2、地方财政预算收入X3、地方财政预算支出X4、旅游收入X5组成的综合指标，主要反映的是城市的经济规模，这是衡量经济发展的硬性指标；第二主成分主要由出口总额X8、进口总额X9组成的综合指标，主要反映的是城市国际经济贸易的指标；第三主成分主要由各地区农民家庭人均纯收入X6、各地区城镇居民平均每人全年可支配收入X7组成的综合指标，主要反映的是城市的城乡居民生活指标。这三个主成分很好的综合了原来的11个指标，从不同方面反映了城市的经济发展水平。建立主成分综合评价模型： F=0.8388 F1+ 0.785 F2+0.0670 F3 在matlab中输入z=[0.8388; 0.785; 0.0670];F=ln*PCACOV;FF=F*z，得到各城市的得分及排名（见表4）： 表4：各城市综合得分及排名 城市 大连 沈阳 鞍山 营口 铁岭 抚顺 丹东 名次 1 2 3 4 5 6 7 得分 9.4554 9.1955 2.4912 1.6734 1.4962 1.2949 1.2070 城市 朝阳 盘锦 本溪 锦州 辽阳 葫芦岛 阜新 名次 8 9 10 11 12 13 14 得分 1.1762 1.1324 0.9681 0.9451 0.8502 0.8213 0.5129 3 聚类分析 3.1 聚类分析法 聚类分析是将所研究的对象按照彼此的亲疏程度归聚为类。本文根据主成分分析法得出的各省市的综合得分，选用有序样本聚类法对这3个因子进行分析，对这些省市进行归类。 有序样本聚类法的一般步骤：(1)计算类的直径；⑵ 计算最小分类损失函数；⑶ 类个数的确定，求得最优分类。 用matlab程序画出损失函数随k变化得趋势图（见表5） 32.521.510.502468101214 从图上可以看到曲线在k=6处逐渐趋于平滑，所以将这31个省市分为6类，各类包含的省市见表6。 表6：我国31个省市经济发展水平分类 类别 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 同类别包含的城市 大连、沈阳 鞍山 营口、铁岭、抚顺、丹东 朝阳 盘锦、本溪、锦州 辽阳、葫芦岛、阜新 3.2 分类结果分析 由聚类分析将辽宁省14各城市分成了六类分别是第一类大连、沈阳。第二类鞍山。第 三类营口、铁岭、抚顺、丹东。第四类朝阳。第五类盘锦、本溪、锦州。第六类辽阳、葫芦岛、阜新。有主成分分析发现在经济发展中经济规模是衡量经济水平的首要因素，由上表第一、二类各城市在经济排名中也是前几位它们的主要共性是经济的发展迅速，具有强大的经济规模和综合竞争力。第三、四、五类在经济贸易往来上与第一、二类相比有待加强。第六类城市还处于经济发展的初生期在经济规模和贸易上还有待拓展。 4 结论 通过上述对辽宁省14各城市8项主要经济指标的主成分和聚类．我们将反映城市经济发展水平的8个主要经济指标降到了3个主成分即3个维度．并赋予这3个维度不同的解释以及辽宁省14各城市的分类，并通过综合分析得出了各个省份的综合得分来系统的估计辽宁省14个城市2008年的经济情况。 [参考文献] [1] 张倩，刘红星.动态聚类分析在全国31个地区经济发展评判中的应用[OL].http://paper.edu.cn [2] 黄建军.基于主成分分析方法的河南省内各地区经济发展潜力研究[J].信阳师范学院学报（哲学社会科学版），2009，29（1）：99-102. [3] 王建刚，于英川.城市综合经济实力的主成分分析研究[J].商业研究，2004，1（285）：8-10. [4] 理查德.A.约翰逊，迪安.W.威克恩.实用多元统计分析（第6版）[M].陆璇，叶俊.北京：清华大学出版社，2008.