第三章 杆件的应力与强度计算
一.基本要求
1.拉伸与压缩变形
1.1熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。
1.2了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。
1.3理解许用应力、安全系数和 强度条件，熟练计算强度问题。
2.扭转变形
2.1理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。 2.2理解圆轴扭转时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。
2.3理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。
3.弯曲变形
3.1理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。
3.2理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯曲切应力强度条件。
4.剪切与挤压变形：了解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。
5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。
3.1 引言
本章讨论了拉伸或压缩、扭转变形和弯曲变形的应力和强度计算，以及剪切和挤压的实用计算。
3.2 拉压杆的应力与应变
一．轴向拉（压）杆横截面上的应力
1）平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。 根据平面假设得知，横截面上各点正应力?相等，即正应力均匀分布于横截面上，?等于常量。
2）由静力平衡条件确定?的大小 由于dN???dA，所以积分得 则
式中：?—横截面上的正应力 FN—横截面上的轴力 A—横截面面积
此式对于过集中力作用点的横截面不适应。
3）正应力?的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。 对于的变截面直杆，在考虑杆自重（密度?）时，有
FN???dA??A
A??FN A?x?FNx Ax其中FN?P??Ax?x 若不考虑自重，则FNx?P
对于等截面直杆，最大正应力发生在最大轴力处，也就是最易破坏处。而对于变截面直杆，最大正应力的大小不但要考虑FNx，同时还要考虑Ax。
例1 起吊三角架，如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为10.86cm的角钢制成，
2
P?130kN，??30?。求AB杆横截面上的应力。
解：（1）计算AB杆内力
取节点A为研究对象，由平衡条件?Y?0，得
FNABsin30??P
则
FNAB?2P?260kN（拉力）
（2）计算
?ABFNAB260?103???10?6?119.7MPa ?4A10.86?2?102
2
例2 起吊钢索如图2-11所示，截面积分别为A1?3cm，A2?4cm，l1?l2?50m，
P?12kN，??0.028N/cm3，试绘制轴力图，并求?max。
解：（1）计算轴力
AB段：取1—1截面
FN1?P??A1x1 ?0?x1?l1? ①
BC段：取2—2截面
FN2?P??A1l1??A2?x2?l1? ?l1?x2?l1?l2? ②
（2）绘轴力图
当x1?0时，FNA?P?12kN （拉力）
当x1?l1时，FNB?P??A1l1?12?0.028?3?50?102?12.42kN （拉力） 当x2?l1时，FNB?P??A1l1??A2(l1?l1)?12.42kN （拉力） 当x2?l1?l2时，FNC?P??A1l1??A2l2?12.98kN （拉力） 轴力图如图2-11b。
（3）应力计算
FNB12.42?103?6?B???10?41.4MPa （拉应力） ?4A13?10?C?FNCA212.98?103?6??10?36.8MPa （拉应力） ?44?10比较?B，?C的大小，得?max?41.4Mpa 二.轴向拉（压）杆斜截面上的应力
对于沿斜截面发生破坏的拉（压）杆，如何确定斜截面k—k上的应力？ 设直杆的轴向拉力为P（如图2-12），横截面面积为A，由于k—k截面上的内力为
Pα?P
而且P?均匀分布。
若以P于是有 ?表示斜截面k—k上的应力，
p??而 A??
P? A?A，所以 cos?p??Pcos???cos? A则将P?分解成正应力??和切应力??，有
???p?cos???cos2?
???p?sin???2sin2?
所以斜截面k—k上的应力
????cos2? （2-3）
????2sin2? （2-4）
?,??,??正负号分别规定为：
?—自x轴逆时针转向外法线n，?为正；反之为负； ??—拉应力为正，压应力为负；
??—取保留截面内任一点为矩心，而??对矩心顺时针为正，反之为负。
讨论式（2-3）和（2-4）：
1）当??0时，横截面??max??，???0
?2）当???45时，斜截面?????2，??max??2
3）当??90时，纵向截面???0，???0
结论：对于轴向拉（压）杆，?max??，发生在横截面上；?max?45°角的斜截面上。
例3 木立柱承受压力P，上面放有钢块，如图2-13所示，其截面积A1为2?2cm，
2
?2，发生在沿顺时针转
?钢?35MPa，木柱截面积A2?8?8 cm2，求木柱顺纹方向切应力大小及指向。
解：（1）计算木柱压力P，由
?钢?P A1所以P??钢?A1?35?106?2?2?10?4?14kN（压力）
（2）计算木柱的正应力?30?
?30则
?P14?103???10?6?2.19MPa （压应力） ?4A264?10?30???302?sin(2?300)?0.95 MPa
?30指向如图所示。
?三.拉（压）杆的应变和胡克定律
（1）变形及应变
杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。
图3-2
轴向变形 ?l?l1?l 轴向线应变 ???l l横向变形 ?b?b 1?b横向线应变 ????b b正负号规定 伸长为正，缩短为负。 （2）胡克定律