全国高中数学联赛模拟试题1
第一试
一．填空题（每小题8分，共64分）
5?4x?x21．函数f(x)?在(??,2)上的最小值是 ．
2?x2. 函数y?sinxcosx的值域是 ．
1?sinx?cosx3. 将号码分别为1、2、?、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a?2b+10>0成立的事件发生的概率等于 ．
n?14．设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?an?，n?1,2,?，则通项an= ．
n(n?1)x2y25.已知椭圆2?2?1(a?b?0)与直线x?y?1交于M,N两点,且OM?ON,(O为
ab32原点),当椭圆的离心率e?[,]时,椭圆长轴长的取值范围是 ．
326．函数 y?5x?1?10?2x的最大值是 ．
7．在平面直角坐标系中，定义点P?x1,y1?、Q?x2,y2?之间的“直角距离”为
d(P,Q)?x1?x2?y1?y2.若C?x,y?到点A?1,3?、B?6,9?的“直角距离”相等，其中实
数x、y满足0?x?10、0?y?10，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 ．
8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ． 二.解答题（共56分）
9.（16分） 已知定义在R上的函数f(x)满足：f(1)? 总有f(x)f(y)?f(x?y)?f(x?y)成立.
（1）若数列{an}满足an?2f(n?1)?f(n)(n?1,2,3,?)，求数列{an}的通项公式； （2）若对于任意非零实数y，总有f(y)?2.设有理数x1,x2满足|x1|?|x2|，判断f(x1)和f(x2) 的大小关系，并证明你的结论. 10.（20分）设b?0，数列{an}满足a1?b，an?（1）求数列{an}的通项公式；
5，且对于任意实数x、y， 2nban?1(n?2)．
an?1?2n?2bn?1（2）证明：对于一切正整数n，an?n?1?1．
2kabc?(a?b)2?(a?b?4c)2，求k的11.（20分）若a、b、c?R?，且满足
a?b?c最大值。
加试
一．（40分）在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y?12x．实数p,q满足 4p2?4q≥0，x1,x2是方程x2?px?q?0的两根，记?(p,q)?max{x1,x2}．
12p0)(p0?0)作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任4p0一点Q(p,q)，有?(p,q)?；
2152（2）设D?{(x,y)|y≤x?1，y≥(x?1)?}．当点(p,q)取遍D时，求
44?(p,q)的最小值 （记为?min）和最大值（记为?max）.
（1）过点A(p0,二．（40分）如图，给定凸四边形ABCD，?B??D?180?，P是平面上的动点，令f(P)?PA?BC?PD?CA?PC?AB．
（Ⅰ）求证：当f(P)达到最小值时，P,A,B,C四点共圆； （Ⅱ）设E是?ABC外接圆O的弧ＡＢ上一点，满足：
AE3，?AB2BC1,DC是圆Ｏ的切线，?3?1，?ECB??ECA，又DAEC2AC?2，求f(P)的最小值．
二题图
三．（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
四．（50分）求证：对i?1,2,3,均有无穷多个正整数n，使
得n,n?2,n?28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和。
模拟试题一参考答案
第一试
一． 填空题（每小题8分，共64分）
1?(4?4x?x2)111.2．当x?2时，2?x?0，因此f(x)???(2?x)?2??(2?x) 2?x2?x2?x1?2，当且仅当而此方程有解x?1?(??,2)，因此f(x)在(??,2)?2?x时上式取等号．2?x上的最小值为2．
?2?1??2?1?,?1?2. ???????1,2?2????
?2?2????2sin(x?). sinx?cosx设t=sinx+cosx=2?2?24??n?()?1,所以?2?t?因为?1?six4?2.又因为t2=1+2sinxcosx,所以
x2?1t2?12?t?1，所以?2?1?y?2?1. sinxcosx=，所以y?1?t2222t?1??1，所以y?-1. 因为t?-1，所以2?2?1??2?1???所以函数值域为y???,?1????1,?.
22????612
3.甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为9=81个。 81。
由不等式a?2b+10>0得2b
45?7?5?3?161?。
818111nn?14.n?an?1?Sn?1?Sn??an?1??an，
2n(n?1)(n?1)(n?2)n(n?1) 。
n?2?211???an
(n?1)(n?2)n?1n(n?1)?21 =， ?an?(n?1)(n?2)n(n?1)11由此得 2(an?1?． )?an?(n?1)(n?2)n(n?1)111令bn?an?，b1?a1?? (a1?0)，
22n(n?1)即 2an?1?有bn?1?
1111b?，故，所以． bna??nnnn22n(n?1)2?x2y2?1??5. ?5,6?由?a2b2,可得(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0 ①
??。
?x?y?1?2a2由OM?ON得x1x2?y1y2?0,即2x1x2?(x1?x2)?1?0,将x1?x2??2,
a?b2a2?a2b211113c2??2?2?x1x2?2代入得,即,因为,得 ??a2b2b2a2a?b23a21b211b2231?1?2?,得?2?,有?a2?(2?2)?2,解得5?2a?6. 2a3a22a3
5]，且y?0。y?5?x?1?2?5?x 6. 63。函数的定义域为[1，?52?(2)2?(x?1)2?(5?x)2?27?4?63 127当且仅当2?x?1?5?5?x，等号成立，即x?时函数取最大值63。
7. 5(2?1)。由条件得
27x?1?y?3?x?6?y?9--------①
x?1?6?x?6当y?9时，①化为，无解；
x?1?6?x?6当y?3时，①化为，无解；
2y?12?x?6?x?1当3?y?9时，①化为 -------②
若x?1，则y?8.5，线段长度为１；若1?x?6，则x?y?9.5，线段长度为52；若x?6，则y?3.5，线段长度为４．综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为
1?52?4?52?1。
8. 723。如答图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面A1B1C1//平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体P?A1B的中心，1C1??PO?面A1B1C1，垂足D为A1B1C1的中心．
1因VP?ABC?S?ABC?PD
3 ?4?VO?ABC
1111?4??S?ABC?OD，
3故PD?4OD?4r，从而PO?PD?OD?4r?r?3r．
记此时小球与面PAB的切点为P1，连接OP，则 111111111122PP(3r)2?r2?22r． 1?PO?OP1?考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时
的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为PEF，如答图2．记正四面体 1的棱长为a，过P1作PM?PA于M． 1答图1
6PE?PA?2PM?a?26r． 1小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）
因?MPP1??，有PM?PP1?cosMPP1?22r?3?6r，故小三角形的边长2322(a?(a?26r)2)?32ar?63r． 4又r?1，a?46，所以
S?PAB?S?P1EF?243?63?183．
S?PAB?S?PEF?1由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723 二． 解答题（共56分）
答图2
9.解:（1）令x?1,y?0，?f?1??f?0??f?1??f?1?，又?f(1)?5，?f?0??2. 2令x?0，得 f(0)f(y)?f(y)?f(?y)，即2f(y)?f(y)?f(?y)
?f(y)?f(?y)对任意的实数y总成立， ?f?x?为偶函数.
令x?y?1，得 f?1?f?1??f?2??f?0?，? ?a1?2f(2)?f(1)?2517?f(2)?2，?f(2)?. 44175??6. 22令x?n?1,y?1，得f(n?1)f(1)?f(n?2)?f(n)，
5?f(n?2)?f(n?1)?f(n).
2?5??an?1?2f?n?2??f?n?1??2?f?n?1??f?n???f?n?1??4f?n?1??2f?n??2??2[2f(n?1)?f(n)]?2an(n…1).
?{an}是以6为首项，以2为公比的等比数列. ∴an?6?2n?1. （2）结论：f(x1)?f(x2).
证明：∵y?0时，f(y)?2,
∴f(x?y)?f(x?y)?f(x)f(y)?2f(x)，即f(x?y)?f(x)?f(x)?f(x?y). ∴令x?ky（k?N+），故?k?N+，总有f[(k?1)y]?f(ky)?f(ky)?f[(k?1)y]成
立. 则
f[(k?1)y]?f(ky)?f(ky)?f[(k?1)y]?f[(k?1)y]?f[(k?2)y]???f(y)?f(0)?0.
∴对于k?N，总有f[(k?1)y]?f(ky)成立.
+∴对于m,n?N，若n?m，则有f(ny)?f???n?1?y?????f(my)成立.
+q1q,|x2|?2，其中q1,q2是非负整数，p1,p2都是正整p1p2qppq1+数，则|x1|?12,|x2|?12，令y?，t?q1p2,s?p1q2，则t,s?N.
p1p2p1p2p1p2∵|x1|?|x2|，∴t?s，∴f(ty)?f(sy)，即f(|x1|)?f(|x2|).
∵x1,x2?Q，所以可设|x1|?
10解：∵an?∵函数f(x)为偶函数，∴f(|x1|)?f(x1),f(|x2|)?f(x2).∴f(x1)?f(x2).
nban?1aban?1n2n?11，∴n?，∴???
nan?1?2n?2anban?1ban?1?2n?211nn?11n① 当b?2时，??，则{}是以为首项，为公差的等差数列
22anan?12ann11∴??(n?1)?，即an?2 an22n12n?11② 当b?0且b?2时，??(?)
an2?bban?12?bn12当n?1时， ??an2?bb(2?b)22n1∴{?为首项，为公比的等比数列 }是以
bb(2?b)an2?bn112∴???()n an2?b2?bb