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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z?i??1?i??i为虚数单位?在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】 B
【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B
2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
【答案】 D 【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。 选D
3.在锐角中?ABC，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB?3b,则角A等于 A．
???? B． C． D． 126433??，A??A = 223【答案】 D
【解析】 由2asinB=选D
3b得: 2sinA ?sinB = 3?sinB?sinA = ?y?2x?4.若变量x,y满足约束条件?x?y?1，则x?2y的最大值是
?y??1?555A．- B．0 C． D．
322【答案】 C
【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点(,)时，u?选C
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5.函数f?x??2lnx的图像与函数g?x??x2?4x?5的图像的交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】 B
【解析】 二次函数g?x??x?4x?5的图像开口向上，在x轴上方，对称轴为x=2，
2g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2
选B
6. 已知a,b是单位向量，a?b?0.若向量c满足c?a?b?1,则c的取值范围是
?,2+1?,2+2?A．??2-1，? B．?2-1，? ?,2+2? ,2+1?C．??1，? D．?1，?【答案】 A 【解析】
?a,b是单位向量，?|a?b|?2,|c-a?b|?|(a?b)-c|?1.即一个模为2的向量与c向量之差的模为1，可以在单位圆中解得2-1?|c|?2?1。 选A
7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 ．．．A．1 B．2 C．【答案】 C
【解析】 由题知，正方体的棱长为1，
2-12+1 D． 22正视图的高为1，宽在区间[1,2]上，所以正视图的面积也在区间[1,2]上.而。
选C
2-1?12
8.在等腰三角形ABC中，AB=AC?4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过?ABC的中心，则AP等 A．2 B．1
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84C． D．
33【答案】 D
【解析】 使用解析法。
244设P(x,0),BC的中点D(2,2).??ABC的重心O在中线的处，?O(,).
3334444(k?2)4(2k?1)设直线RQ的斜率为k,则其方程为y?k(x?)??R(0,(1?k)),Q(,)3333(k?1)3(k?1)。
kRP?
4(k?1)4(2k?1),kQP?,由题知k?kRP?0,k?kQP?1?(2k?1)(k?1)?034(k?2)?3x(k?1)?k???k?1???，?x?0(舍）??x???选D
12 43
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.
（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）
?x?t,?x?3cos?,l:?(t为参数)过椭圆C:?9.在平面直角坐标系xoy中，若?y?t?a?y?2sin?
(?为参数)的右顶点，则常数a的值为 3 . 【答案】 3 【解析】
x2y2直线l方程:y?x?a,椭圆方C程：??1的右顶点(?3,0)??3?0?a?a?3
94
10.已知a,b,c?,a?2b?3c?6,则a2?4b2?9c2的最小值为 12 . 【答案】 12
. 【解析】 考察柯西不等式2(12?12?12)?(a2?(2b)2?(3c)2)?（1?a?1?2b?1?3c）?36?a2?4b2?9c2?12
2且当a?2,b?1,c?时，取最小值.
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11.如图2，在半径为7的?O中,弦AB,CD相交于点P,PA?PB?2,
PD?1，则圆心O到弦CD的距离为 . 【答案】 【解析】
3 2由相交弦定理得AP?PB?DP?PC?PC?4,DC?5，圆心到CD的距离d?r2?(
PC23)?22（一） 必做题（12-16题） 12.若?x2dx?9,则常数T的值为 3 .
0T【答案】 3
【解析】
?T0x32xdx?3T0T3??9?T?3 3
13.执行如图3所示的程序框图，如果输入
a?1,b?2,则输出的a的值为 9 .
【答案】 9
【解析】 a?1?2?2?2?2?9
x2y214．设F1,F2是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，P是C上一点，若
abPF1?PF2?6a,且?PF1F2的最小内角为30?，则C的离心率为___。
【答案】
3
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【解析】 设P点在右支上，m?|PF1|,n?|PF2|,则??m?n?6a?m?4a,n?2a
?m?n?2a16a2?4c2?4a213ac3由题知，?PF1F2中，?PF1F2?30?.由余弦定理得:cos30???(?)?2?8ac4ca2
?e?
c?3 a15．设Sn为数列?an的前n项和，Sn?(?1)nan?（1）a3?_____；
（2）S1?S2?????S100?___________。 【答案】
?1?,n?N,则 n23
?m?n?6a?m?4a,n?2a
?m?n?2a【解析】 设P点在右支上，m?|PF1|,n?|PF2|,则?
16．设函数f(x)?a?b?c,其中c?a?0,c?b?0.
xxx且a=b?，则（1）记集合M??(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，(a,b,c)?M所对应的f(x)的零点的取值集合为__(0，1]__。
【答案】 (0，1] 【解析】
acln2
由题知c?a,c?a?b?2a，令f(x)?2ax?cx?cx[2()x?1]?0?()x?2?x?ccalnaccln2ln2ln2??2.又?ln?ln2?0???0,?x??(0，1]。
caaln2lnclnaa所以f(x)的零点集合为(0，1]
（2）若a,b,c是?ABC的三条边长，则下列结论正确的是 ①②③ .（写出所
有正确结论的序号）
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