2 空间向量的运算（二）
学习目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.
知识点一 空间向量的数乘运算
思考 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
梳理 (1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝__________.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向______；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律： ①λ(μa)＝______________； ②λ(a＋b)＝____________； ③(λ1＋λ2)a＝__________(拓展). 知识点二 共线向量与共面向量
思考1 回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义.
思考2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？
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梳理 (1)平行(共线)向量
定义 充要条件 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相__________ 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在实数λ，使__________ 存在实数t满足等式向量a为直线l的____________ 点P在直线l________________，在直线→→→上的充要条件 l上取向量AB＝a，则OP＝OA＋t______
(2)共面向量
定义 三个向量共面的充要条件 平行于同一个______的向量 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使__________ 存在有序实数对(x，y)，→使AP＝__________ 点P位于平面ABC内的充要条件 →对空间任一点O，有OP→＝OA＋__________
类型一 向量共线问题
→→
例1 如图所示，在正方体ABCD—B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，F在对角线A1C上，→2→且A1F＝FC.
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求证：E，F，B三点共线.
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反思与感悟 判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.
跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量→→→
EF与AD＋BC是否共线？
类型二 空间向量的数乘运算及应用
→→→
例2 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
→→→→(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1. 引申探究
若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且→
示AP？
反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，
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C1P1
＝”，其他条件不变，如何表PD12
将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
跟踪训练2 如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，→→→→
且MG＝2GN，如图所示，记OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用向量a，b，c表示向量OG.
类型三 空间向量共面问题
例3 如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝OEOFOGOH＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面.
OAOBOCOD
反思与感悟 (1)利用四点共面求参数
向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值. (2)证明空间向量共面或四点共面的方法
①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.
→→→→
②若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面.
③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.
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→1→1→1→
跟踪训练3 (1)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足OM＝OA＋OB＋OC，判
333→→→
断MA，MB，MC三个向量是否共面.
→→→→→→
(2)如图，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，且OE＝kOA，OF＝kOB，OH＝kOD，→→→→→→AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF.
求证：①A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面； →→ ②AC∥EG； →→③OG＝kOC.
1.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( ) A.共面向量 C.不共面向量
.共线向量
.既不共线也不共面的向量
2.已知空间四边形ABCD，点E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的点，→→→→→→→→→→
若AE＝λAB，AF＝λAD，CM＝μCB，CN＝μCD，则向量EF与MN满足的关系为( ) →→A.EF＝MN →→C.|EF|＝|MN|
→→.EF∥MN →→.|EF|≠|MN|
→→→
3.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，
D三点共线，则k＝________.
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