数列通项公式的十种求法
一、公式法
例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。
an?1an3an?1an3ana12??1????{}，则，故数列是以
2122n?12n22n?12n22na33?1?(n?1)为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得n，所以数列{an}的通项公n22231n式为an?(n?)2。
22解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为列，再直接利用等差数列的通项公式求出二、累加法
an?1an3an??{}是等差数，说明数列2n?12n22nan3?1?(n?1)，进而求出数列{an}的通项公式。 n22例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]??(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)??2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n2。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求出
(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。
例3 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解
：
由
an?1?an?2?n?3得
1an?1?an?2?3n?1则
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an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)??2(3n?1?3n?2?3(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3n?n?1.
?(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?32?1)?(2?31?1)?3
?32?31)?(n?1)?3评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3n?1转化为an?1?an?2?3n?1，进而求出
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?，即得数列?(a{an}的通项公式。 3?a2)?(a2?a1)?a1例4 已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?3an?2?3n?1两边除以3则
n?1，得
an?1an21???， 3n?13n33n?1an?1an21???，故 3n?13n33n?1ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?)?(?n?3)?nnn?2n?233an?1an?1333?(a2a1a1?1)?2333
212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)??(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2??2)?13333331(1?3n?1)nan2(n?1)32n11因此n， ???1???331?3322?3n则an?211?n?3n??3n?. 322n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3?1转化为
an?1an21???，进而求出n?1nn?13333(anan?1an?1an?2an?2an?3?)?(?)?(?)?3n3n?13n?13n?23n?23n?3?(a2a1a1?an??)?，即得数列?n?的通项公式，最后再求32313?3?数列{an}的通项公式。 三、累乘法
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例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则
an?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1??an?1an?2?a3a2??a1a2a1?[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3
?2?1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]??2n?1[n(n?1)??3?2n?1?3?2]?5(n?1)?(n?2)??n!n?1?3?5n(n?1)2所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.
an?1?2(n?1)5n，进而求出an评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5n?an转化为
anan?1??an?1an?2?a3a2??a1，即得数列{an}的通项公式。 a2a1例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足
a1?1，an?a1?2a2?3a3?解：因为an?a1?2a2?3a3?所以an?1?a1?2a2?3a3??(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。 ?(n?1)an?1(n?2)
②
①
?(n?1)an?1?nan
用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)
故
an?1?n?1(n?2) ananan?1??an?1an?2a3?a2?[n(n?1)?a2n!a2. 2所以an???4?3]a2? ③
由an?a1?2a2?3a3??(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知a1?1，则
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a2?1，代入③得an?1?3?4?5?所以，{an}的通项公式为an??n?n!。 2n!. 2评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为
an?1?n?1(n?2)，进而求出ananan?1??an?1an?2?a3?a2，从而可得当n?2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的通项公式。 a2四、待定系数法
例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。 解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)
④
将an?1?2an?3?5n代入④式，得2an?3?5n?x?5n?1?2an?2x?5n，等式两边消去2an，得
nn3?5n?x?5n?1?2x?5，两边除以5，得3?5x?2x,则x??1,代入④式得an?1?5n?1?2(an?5n)
⑤
1nan?1?5n?1n1由a1?5?6?5?1?0及⑤式得an?5?0，则，则数列是以?2{a?5}a?5?1为首项，n1nan?5以2为公比的等比数列，则an?5n?2n?1，故an?2n?1?5n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5n转化为an?1?5n?1?2(an?5n)，从而可知数列
{an?5n}是等比数列，进而求出数列{an?5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。
例8 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x?2n?1n?y?3(an?x?2n?y)
⑥
将an?1?3an?5?2?4代入⑥式，得
n3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)
整理得(5?2x)?2?4?y?3x?2?3y。
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令??5?2x?3x，则??4?y?3y?x?5，代入⑥式得
?y?2an?1n?1?5?2?2?3(an?5?2n?2)
⑦
由a1?5?21?2?1?12?13?0及⑦式，
得a5?2n?2?0，则an?1?5?2n?1?2n?an?2?3， n?5?2故数列{ana1n?5?2?2}是以1?5?2?2?1?12?13为首项，以3为公比的等比数列，an?5?2n?2?13?3n?1，则an?13?3n?1?5?2n?2。
评注：本题解题的关键是把递推关系式ann?1?3an?5?2?4转化为
an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)，从而可知数列{an?5?2n?2}是等比数列，进而求出数列{an?5?2n?2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。
例9 已知数列{a2n}满足an?1?2an?3n?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设a2n?1?x(n?1)?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z) ⑧ 将a2n?1?2an?3n?4n?5代入⑧式，得
2a2n?3n?4n?5?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)，则 2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn2?2yn?2z
等式两边消去2a2n，得(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn2?2yn?2z，
?解方程组?3?x?2x??2x?y?4?2y，则?x?3?y?10，代入⑧式，得
??x?y?z?5?2z??z?18an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18) ⑨
由a21?3?1?10?1?18?1?31?32?0及⑨式，得a2n?3n?10n?18?0
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此5
因