平面几何竞赛讲座（三）三角形的“五心”
一、基本概念
1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.
A AA
FFF
E EE
CBBCBDCDD
内心有以下常用的性质：
性质1：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：I到三角形三边的距离相等. 性质2：设I是⊿ABC内一点，AI所在直线交⊿ABC 的外接圆于D，
AI为⊿ABC内心的充要条件是：ID=DB=DC.
性质3：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是： ∠BIC=90+
0
12∠A，∠AIC=90+
0
12∠B，∠AIB=90+
0
12∠C.
BDIC性质4：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是： ⊿IBC、⊿IAC、⊿IAB的外心均在⊿ABC的外接圆上.
性质5：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB 边上的射影分别为D、E、F，内切圆的半径为r，令p=(1)ID=IE=IF=r，S⊿ABC=pr=(2)r=
2S?ABCa?b?cp(p?a)(p?b)(p?c)=
12AzFxBxzEyDyC(a+b+c),则 ；
(x?y?z)xyzI；
(3)abc·r=p·AI·BI·CI.
性质6：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K，交⊿ABC 的外接圆于D，则
AIIK=
ADDI=
DIDK=
b?ca.
0
〖例1〗如图，设⊿ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=60，∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E，证明：(1)IO=AE,(2)2R EA M O I CB F 〖例2〗如图，在⊿ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A的平分线交⊿ABC的外接圆于K，O、I分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO⊥AK. (1982四川省数学竞赛题) EA OI BC.外心是三2、外心：经过三角形各顶点的圆叫做此三角形的外接圆，其圆心叫做此三角形的外心K角形三条边的垂直平分线的交点. 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部. A A AO OO BBCCBC 外心有以下常用的性质： 性质1：⊿ABC所在平面上一点是其外心的充要条件是：该点到三角形三顶点的距离相等. 性质2：设O是⊿ABC所在平面内一点，则O为⊿ABC的外心的充要条件是： (1)∠BOC=2∠A，∠ACC=2∠B，∠AOB=2∠C. (2)OB=OC, 且∠BOC=2∠A. 性质3：R= abc4S?ABC或S⊿ABC= abc4R. 〖例3〗如图，设AD是⊿ABC的∠BAC的平分线，O是⊿ABC的外心，01是⊿ABD的外接圆的圆心，02是⊿ADC的外接圆的圆心.求证：OO1=OO2. (1990高中联赛) A O1 KEF O2O BD C 3、重心：三角形三条边中线的交点叫做此三角形的重心.重心在三角形内部.重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍（即：重心将每条中线分成1:2两部分）. A AA GGG BC BCBC 重心有以下常用的性质： 性质1：设G是⊿ABC的重心，连AG并延长交BC于D，则D为BC的中点， AD= 2 12(AB+AC)-BC,且AG:GD=2:1. 222 性质2：设G是⊿ABC的重心，P为⊿ABC内任意一点，则 2222222 (1)AP+BP+CP=AG+BG+CG+3PG； (2)AG+BG+CG=(AB+BC+CA). 32 2 2 1222 性质3：设G是⊿ABC内一点，G是⊿ABC的重心的充要条件是下列条件之一： (1)S⊿GBC=S⊿GCA=S⊿GAB=S⊿ABC； 31(2)当AG、BG、CG的延长线交三边于D、E、F时，S⊿AFG=S⊿BDG=S⊿CEG. (3)当点G在三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F时，GD·GE·GF值最大； (4)过G的直线交AB于P，交AC于Q时， 2 2 2 2 2 2 ABAP+ ACAQ=3； (5)BC+3AG=CA+3GB=AB+3GC. 4、垂心：三角形三条边高线的交点叫做此三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部. AAHBCBC(H)ABCH 垂心有以下常用的性质： 00 性质1：设H是⊿ABC的垂心，则∠BHC=∠B+∠C=180-∠A，∠CHA=∠C+∠A=180-∠B，∠AHB=∠ 0 A+∠B=180-∠C. 性质2：设H是⊿ABC的垂心，则H、A、B、C四点中任意一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点组为一垂心组，且一垂心组的四个外接圆的圆心是另一垂心组，与原垂心组全等）。 性质3：设⊿ABC有三条高线为AD、BE、CF。其中D、E、F分别为垂足，垂心为H， 则对于A、B、C、H、D、E、F有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似三角形， 且AH·HD=BH·HE=CH·HF. 性质4：H是⊿ABC所在平面上一点，H是其垂心的充要条件是下列条件之一： (1)H关于三边的对称点都在⊿ABC的外接圆上； (2)⊿ABC、⊿ABH、⊿BCH、⊿ACH的外接圆是等圆； OB=OC, 且∠BOC=2∠A. (3)H关于三边中点的对称点都在⊿ABC的外接圆上； (4)∠HAB=∠HCB，∠HBC=∠HAC； (5)∠BAO=∠HAC，∠ABO=∠HBC其中O是⊿ABC外心. 性质5：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍； 性质6：锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍； 性质6：锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短. 〖例4〗如图，设A1A2A3A4是圆O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次是⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心，求证：H1、H2、H3、H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992高中联赛) H4A1H3 A2 O'M O H2 H1A4A3 5、旁心：与三角形一条边和外切，又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆.一个三角形有三个旁切圆，旁切圆的圆心简称三角形的旁心.每一个旁心到三边的距离都相等. IC A IB CB IA 〖例5〗如图，圆O1与圆O2和⊿ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，直线EG P与FH相交于点P，求证：PA⊥BC.(1996全国联赛题) G H O1DO2 A CF EB 〖例6〗如图，O、I分别为⊿ABC外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上， 求证：⊿ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆的半径.(1998全国联赛题) A NOI BDE CFF IA 〖例7〗设圆O是三角形ABC的BC边外侧的旁切圆，D、E、F分别是圆O与BC、CA、AB的切点.(1)若OD与EF相交于K，求证：AK平分BC；(2)已知BC= A,AC=B,AB=C,且b>c,求S⊿ABC:S⊿BKC.(1999年四川省竞赛题) A BM DC F EK O【例8】 设OA，OB，OC是⊿ABC的三个旁切圆的圆心，证明：点A、B、C是⊿OAOBOC三条高的垂足。 OC A OB BCOA