全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：线面平行关系
1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是( ) A．平行于同一平面的两个平面一定平行 B．平行于同一直线的两条直线一定平行 C．垂直于同一直线的两条直线一定平行 D．垂直于同一平面的两条直线一定平行 答案 C
解析 垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明．
2．设α，β，γ为平面，a，b为直线，给出下列条件： ①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b. 其中能推出α∥β的条件是( ) A．①② C．②④ 答案 C
3．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为( ) A．10 C．8 答案 B
解析 设截面四边形为EFGH，F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.
∴周长为2×(4＋6)＝20.
4．(全国名校·安徽毛坦厂中学月考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A内且与平面D1EF平行的直线( ) A．有无数条 C．有1条 答案 A
B．有2条 D．不存在 B．20 D．4 B．②③ D．③④
解析 因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1，所以两平面有一条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条，故选A.
5．(全国名校·衡水中学调研卷)如图，P为平行四边形ABCD所在平面PF外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝FC( ) 2A. 31C. 3答案 D
解析 连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以
PFAG＝.又FCGC
1B. 41D. 2
AGAE1PF1
AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝.
GCBC2FC2
6．(全国名校·吉林省实验中学一模)已知两条不同直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：
①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l?α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l∥α. 其中正确的命题是________． 答案 ②
解析 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l?α，所以③错误．
7．(全国名校·河北定州中学月考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________．
答案
2
解析 根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.因为点E是AD的中点，所以点F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝2.
8．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN
平行的是________． 答案 平面ABC和平面ABD
解析 连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F.由重心的性质可知，E，FEMEN1
重合为一点，且该点为CD的中点E.由＝＝，得MN∥AB.因此MN∥平面ABC且
MANB2MN∥平面ABD.
9.(全国名校·吉林一中模拟)如图，在四面体ABCD中，AB＝CD＝2，直线AB与CD所成的角为90°，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是________． 答案 1
解析 ∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC∩平面EFGH＝HG， ∴HG∥AB.同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD. ∴FG∥EH，EF∥HG.故四边形EFGH为平行四边形． 又AB⊥CD，∴四边形EFGH为矩形．
BFBGFG
设＝＝＝x(0≤x≤1)，则FG＝2x，HG＝2(1－x)， BDBCCD
1
S四边形EFGH＝FG×HG＝4x(1－x)＝－4(x－)2＋1，
2
根据二次函数的图像与性质可知，四边形EFGH面积的最大值为1. 10．(全国名校·江西上饶一模) 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点． (1)求三棱锥B1－A1BE的体积；
(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出一条与B1F平行的直线，并说明理由． 4
答案 (1) (2)略
3
111
解析 (1)VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝S△A1B1B·DA＝××2×
3324
2×2＝.
3
(2)B1F∥平面A1BE.如图，延长A1E交AD的延长线于H，连接BH交CD于G点，连接EG，则BG即为所求．理由如下：
因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又因为A1B∥CD1，E为DD1的中点，所以G为CD的中点，故BG∥B1F，BG就是所求． 11.(全国名校·北京西城一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD
为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AC，过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G(E，F，G三点均不在棱的端点处)．直线AE是否可能与平面PCD平行？证明你的结论． 答案 不平行，证明略
解析 直线AE与平面PCD不可能平行．证明如下：假设AE∥平面PCD.因为AB∥CD，AB?平面PCD，所以AB∥平面PCD.而AE?平面PAB，AB?平面PAB，AE∩AB＝A，所以平面PAB∥平面PCD，这与已知矛盾，所以假设不成立，即AE与平面PCD不可能平行． 12．(全国名校·江西师大附中期末)如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且1
AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF
2翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②.
(1)求证：AM∥平面BEC； (2)求点D到平面BEC的距离． 答案 (1)略 (2)
6 3
解析 (1)证明：取EC的中点为N，连接MN，BN.在△EDC中，M，N分别为ED，EC的11
中点，所以MN∥CD，且MN＝CD.由已知AB∥CD，AB＝CD，得MN∥AB，且MN＝
22AB.故四边形ABNM为平行四边形，因此BN∥AM.
又因为BN?平面BEC，且AM?平面BEC，所以AM∥平面BEC.
(2)解：由已知得BC⊥BD，BC⊥DE，又BD∩DE＝D，所以BC⊥平面BDE.而BE?平面BDE，所以BC⊥BE.
116
故S△BCE＝BE·BC＝×3×2＝.
22211
S△BCD＝BD·BC＝×2×2＝1.
22
又VE－BCD＝VD－BCE，设点D到平面BEC的距离为h， S△BCD·DE1116
则S△BCD·DE＝S△BCE·h，所以h＝＝＝. 33S△BCE63
2
13．(全国名校·河南新乡一中模拟)如图，在五棱锥F－ABCDE中，平面AEF⊥平面ABCDE，AF＝EF＝1，AB＝DE＝2，BC＝CD＝3，且∠AFE＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝90°.
(1)已知点G在线段FD上，确定点G的位置，使AG∥平面BCF；
(2)点M，N分别在线段DE，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，D与F恰好重合，求三棱锥A－BMF的体积． 42
答案 (1)略 (2) 15
解析 (1)点G为靠近D的三等分点．
在线段CD上取一点H，使得CH＝2，连接AH，GH. ∵∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴AB∥CD.
又AB＝CH，∴四形ABCH为平行四边形，∴AH∥BC. ∵点G为靠近D的三等分点，
∴FG∶GD＝CH∶HD＝2∶1，∴GH∥CF.
∵AH∩GH＝H，∴平面AGH∥平面BCF.又AG?平面AGH， ∴AG∥平面BCF.
(2)连接BD，根据条件求得AE＝2，BD＝32，又AB＝DE＝2，
∴∠AED＝135°.取AE的中点K，连接FK，KM，∵AF＝EF，∴FK⊥AE.又平面AEF⊥平面ABCDE，∴FK⊥平面ABCDE，又KM?平面ABCDE，∴FK⊥KM. 设ME＝x(0 22，FK＝， 22 2221 )＋x2－2x×cos135°＝x2＋x＋. 222 ∵翻折后D与F重合，∴DM＝FM. ∴DM2＝FM2＝KM2＋FK2， 3 ∴(2－x)2＝x2＋x＋1，解得x＝. 5 1112842 ∴VA－BMF＝VF－ABM＝×FK××AB×(ME＋1)＝××2×＝. 3262515 1．(全国名校·陕西西安模拟)在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，H，G分别是BC，CD的中点，则( ) A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形 答案 B 11 解析 如图，由条件知，EF∥BD，EF＝BD，HG∥BD，HG＝BD， 522 ∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH为梯形． 5 ∵EF∥BD，EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF∥平面BCD. ∵四边形EFGH为梯形，∴线段EH与FG的延长线交于一点，∴EH不平行于平面ADC.故选B. 2.如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形． 答案 AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD 解析 本题考查了判断菱形和正方形的条件，同时考查了直线平行的传递性．具体分析如下：11 易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四边 22形EFGH为平行四边形，要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使平行四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD. 3．(全国名校·南昌摸底)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝3，AC⊥BC，点M在线段AB上． 若M是AB的中点，证明：AC1∥平面B1CM. 答案 略 证明 如图，连接BC1，交B1C于点E，连接ME.