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北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试
数学答案（理工类） 2017.11
一、 选择题： 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 D 8 C 二、 填空题： 1ln29. 5 10. 3 11. [2,2)?(??,?2??1,0? ?ln2) ???1?ln2??2?ln2??x2,?1?x?1,cosx?112. f(x)?|sinx|或或f(x)??（答案不唯一） 2?0,x?1或x??1.13. V?12?SSr?πr3(0?r?)； 22???S ??14. 24;?1815714，?,?5，613，?,?21012，，?,?4，911，?（答案不唯一） ，，?, ?3，三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当n?1时，a1?1. 当n?2时，an?Sn?Sn?1, an?2an?2an?1，即an=2an?1 所以数列?an?是首项为1，公比为2的等比数列. 故an=2n?1, n?N. ┈┈ 8分 （Ⅱ）由已知得bn=log1an=log1222n?1?=1?n.
因为bn?bn?1?(1?n)?(2?n)??1，
所以?bn?是首项为0，公差为?1的等差数列.
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故?bn?的前n项和Tn?
16. (本小题满分13分)
n(1?n). ┈┈ 13分 2解：因为f(x)?2sinx?cos(x?)， 所以f(x)?2sinx?(cosxcosπ3ππ?sinxsin) 33 ?sinx?cosx?3sin2x 13?sin2x?(1?cos2x) 22π3?sin(2x?)?. 322π（Ⅰ）函数f(x)的最小正周期为T??π. ┈┈ 8分 2ππ2ππ（Ⅱ）因为x?[0,]，所以2x??[?,]. 3332π3,1]. 所以sin(2x?)?[?323]. ┈┈ 13分 所以f(x)?[0,1?2 17. (本小题满分13分) c32sinCsinC32π，?，所以. ??3π7sinBsin(?C)74b43π 所以7sinC?32sin(?C). 43π3π 所以7sinC?32(sincosC?cossinC). 44解：（Ⅰ）因为A? 所以7sinC?3cosC?3sinC. 所以4sinC?3cosC. 3. ┈┈ 7分 4c32π（Ⅱ）因为a?5，A?，?，由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA得
74b322322b)?2b?b? 25?b2?(. 772所以tanC?所以b?7，c?32.
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所以△ABC的面积S?
18. (本小题满分14分)
11221bcsinA??7?32??. ┈┈ 13分 2222解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为xx?R.f?(x)??(x?2)(x?a)e?x. ① 当a?2时，令f?(x)?0，解得：x?a或x?2，f(x)为减函数； 令f?(x)?0，解得：a?x?2，f(x)为增函数. ② 当a?2时，f?(x)??(x?2)2e?x?0恒成立，函数f(x)为减函数； ③ 当a?2时，令f?(x)?0，解得：x?2或x?a，函数f(x)为减函数； 令f?(x)?0，解得：2?x?a，函数f(x)为增函数. 综上， 当a?2时，f(x)的单调递减区间为(??,a),(2,??)；单调递增区间为(a,2)； 当a?2时，f(x) 的单调递减区间为(??,??) ； 当a?2时，f(x)的单调递减区间为(??,2),(a,??)；单调递增区间为(2,a). ┈┈ 8分 （Ⅱ）g(x)在定义域内不为单调函数，以下说明： ??g?(x)?f??(x)?[x2?(a?4)x?3a?2]?e?x. 记h(x)?x?(a?4)x?3a?2，则函数h(x)为开口向上的二次函数. 方程h(x)?0的判别式??a?4a?8?(a?2)?4?0 恒成立. 所以，h(x)有正有负. 从而g?(x)有正有负. 故g(x)在定义域内不为单调函数. ┈┈ 14分
19. (本小题满分14分) 解：函数的定义域为(0,??)，
222
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112?? exxex211（Ⅰ）f?(1)??1，又f(1)??，
eef?(x)??曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为
111?(?1)x??1. eee12即(??)x?y?+1?0. ┈┈ 4分 ee11（Ⅱ）“要证明lnx??,(x?0)”等价于“xlnx??”. eexy?设函数g(x)?xlnx. 令g?(x)=1+lnx?0，解得x?1. ex g?(x) g(x) 1e1(0,) e1 e0 1(,??) e? ? 1e? ? 1. e1? e因此，函数g(x)的最小值为g()??.故xlnx??即lnx??1. ┈┈ 9分 ex（Ⅲ）曲线y?f(x)位于x轴下方. 理由如下： 1111x1?(x?). ，所以f(x)?x?exeexxeex11?x设k(x)?x?，则k?(x)?x. eee由（Ⅱ）可知lnx??令k?(x)?0得0?x?1；令k?(x)?0得x?1. 所以k(x)在?0,1?上为增函数，?1，+??上为减函数. 所以当x?0时，k(x)?k(1)=0恒成立,当且仅当x?1时，k(1)?0. 又因为f(1)??1?0， 所以f(x)?0恒成立. e故曲线y?f(x)位于x轴下方. ┈┈ 14分
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20. (本小题满分13分)
（Ⅰ）解：f(2)?1,f(3)?2,f(4)?4. ┈┈ 3分 （Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为n项的首项最小数列. 对于n个数的首项最小数列，由于a1?1，故a2?2或3.
（1）若a2?2，则a2?1,a3?1,?,an?1构成n?1项的首项最小数列，其个数为f(n?1)； （2）若a2?3,a3?2，则必有a4?4，故a4?3,a5?3,?,an?3构成n?3项的首项最小数列，其个数为f(n?3)；
（3）若a2?3,则a3=4或a3?5. 设ak?1是这数列中第一个出现的偶数，则前k项应该是1,3,?,2k?1，ak?1是2k或2k?2，即ak与ak?1是相邻整数.
由条件②，这数列在ak?1后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在ak?1之后，故ak?1后的各项都小于它.
这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数. 综上，有递推关系：f(n)?f(n?1)?f(n?3)?1，n?5.
由此递推关系和（I）可得，f(2),f(3),?,f(2018)各数被4除的余数依次为： 1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，… 它们构成14为周期的数列，又2018?14?144?2，
所以f(2018)被4除的余数与f(2)被4除的余数相同，都是1，
故f(2018)不能被4整除. ┈┈ 13分
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