为了推导方便且考虑到VTPV是一个数，其迹就是该数本身，对上式等号两边取迹，得
tr(VTPV)?tr(?TP?)?tr(?T?P?L?) L根据方阵的迹的运算规则tr(AB)?tr(BA)，上式可以写成
TVTPV?tr(??TP)?tr(?L??L?P)
等号两边取数学期望 E(VPV)?trE(??P)?trE(?L??L?P)
TTT?tr(DLLP)?tr(DLL??P)
2而DLL??0QLL，DLL????0QLL??，又在间接平差时有
T?1TDLL???BQXX??B?BNBBB
2带入期望方程式中得 E(VPV)?tr(?0DLLP)?tr(?0BNBBBP) 同样根据方阵迹的运算规则，上式变为
22T?1E(VTPV)?tr(?0E)?tr(?0BPBNBB)
2??0(tr(E)?tr(E))
n?nt?tT22?1T2??0(n?t)
VTPV2222?0?0)??0)??0所以E(，即E(?，这样就证明了单位权方差估计量?具有无偏性。
n?t2.
?1和x?2，即下式成立 设有满足法方程的不同基准的两个最小二乘解x?1?W；Nx?2?W Nx?2?x?1)?0 两式相减，得 N(x已知NG?0，G为rk(G)?d的u?d矩阵，故有
?2?x?1?GD x?2?x?1?GD 或 x式中D为d维向量，D中元素为纵、横坐标平移量，坐标轴旋转因子和尺度缩放因子。
?PPxx?P?min的最小二乘?，协因数为Qxx 设已知一个最小二乘解x??，现要求变换具有基准xT?P?x?1?GD ?P。利用式x?2?x?1?GD，写成 x解x?P时的转换因子向量，为此要求 ?变换成xD是属于由xT?P?P?xPxxT?P?2xPxG?0
?D?P?GPx(x??GD) 于是有 GPxx? 得 D??(GPxG)GPxxT?1TTT?P时的转换因子计算公式。 ?变换成x这是由x?P?x?1?GD式中得 将上式带入x?P?(E?G(GTPxG)?1GTPx)x??HPx? x其中令变换矩阵 HP?E?G(GPxG)GPx
T?1T?P的协因数则可写成 Qx于是x?Px?P?HPQxx??HP ?P时的基准变换公式。 ?变换成x这就是由x?P的计算公式为 ?变换成x特别地，当Px?E时，则由x?p?E?(S(STS)?1ST)x??Hrx? xTQx?px?p?HrQxx??Hr
T这是重心基准下参数估计公式。
?PPxx?P?min与基准约束条件GPxx?P?0等价。亦即上述的秩亏上述即证明了最小范数准则x自由网平差模型
TTVTPV?min?VTPV?min???T?P?p?min?与GTPxx?p?0? xPxx???L??V?BxV?Bx?L??等价。