解设事件B?“能活20年以上”，A?“能活25年以上”.按题意，P(B)?0.8,由于A?B,所以BA?A,因此P(AB)?P(A)?0.4, 由概率的定义，得P?A|B??P(AB)0.4??0.5.P(B)0.82.甲、乙、丙三门高射炮向同一架飞机射击，设甲、乙、丙射中飞机的概率分别是0.4，0.5，0.7.又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2；若有两门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6；若三门炮都射中，飞机必坠毁，试求飞机坠毁的概率.解设B?“飞机坠毁”，Ai?“i门炮射中飞机”(i?0,1,2,3).显然，A0,A1,A2,A3构成完备事件组.三门高射炮各自射击飞机，射中与否相互独立，按加法公式及乘法公式，得P(A0)?(1?0.4)?(1?0.5)?(1?0.7)?0.09P(A1)?0.4?(1?0.5)?(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)?(1?0.5)?0.7?0.36P(A2)?0.4?0.5?(1?0.7)?0.4?(1?0.5)?0.7?(1?0.4)?0.5?0.7?0.41P(A3)?0.4?0.5?0.7?0.14再由题意知P(B|A0)?0,P(B|A1)?0.2P(B|A2)?0.6,P(B|A3)?1利用全概率公式，得P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.09?0?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458i?03
3.甲、乙两个乒乓球运动员进单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4.比赛即可采取三局两胜制，也可采取五局三胜制，问采取哪 种赛制对甲更有利？解(1)采用三局两胜制.设A1?“甲净胜二局”，A2?“前两局甲、乙各胜一局，P(A1)?0.6?0.362第三局甲胜”，A?“甲胜”，则A?A1?A2,而P(A2)?(0.6?0.4)?2?0.2882
所以，有P(A)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?0.36?0.288?0.648(2)采用五局三胜制，设B?“甲胜”，B1?“前三局甲胜”，B2?“前三局中甲胜两局，乙胜一局，第四局甲胜”，B3?“前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜”，则B1,B2,B3互不相容，且B?B1?B2?B3.由题设知P(B1)?0.63?0.216P(B2)?C32?0.62?0.4?0.6?0.2592P(B3)?C4?0.62?0.42?0.6?0.207P(B)?P(B1?B2?B3)?P(B1)?P(B2)?P(B3)?0.216?0.259?0.207?0.682所以，采用五局三胜制时对甲更有利.
6
本科概率论与数理统计作业卷(三)
一、填空题
??101.设有随机变量X~?11??361?1?,则X的分布函数为_______.?2?当x??1时，F(x)?P{X?x}?0;1当?1?x?0时，F(x)?P{X?x}?3111当0?x?1时，F(x)?P{X?x}???;362111当x?1时，F(x)?P{X?x}????1362整理，得?0,??1,?3F(x)???1,?2?1,?当x??1当?1?x?0当0?x?1当x?1分析2.如果离散型随机变量X的分布律如下表所示，则C?_____.
X
0 1 2 3
P
31111 C2C3C4C解根据x1?0?P(xi)?1得：C?25. 123.已知X的分布律如下表所示
x
0 1 2 3 4 5
P{X?x}
111121
91263129
则Y?(X?2)2的分布律为
7
分析记g(x)?(x?2)2.由于g(0)?g(4)?4,g(1)?g(3)?1,g(2)?0,g(5)?9,1因此P{Y?0}?P{X?2}?,3111P{Y?1}?P{X?1}?P{X?3}???,6124 1211P{Y?4}?P{X?0}?P{X?4}???,129361P{Y?9}?P{X?5}?9故应填 Y 0 1 4 9
P{Y?y}
11111 34936二、选择题
1.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取3222(A)a?,b??(B)a?,b?55331313(C)a??,b?(D)a?,b??2222分析x???根据分布函数的性质：limF(x)?1,因此有x???x???x???limF(x)?alimF1(x)?blimF2(x)即1?a?b
故应选(A).2.设离散型随机变量X的分布律为：P{X?k}?b?k,(k?1,2,3,?),且b?0，则?为(A)??0的任意实数(C)??11?b??(B)??b?1(D)??k
1b?1(1??n)?Sn??b??b·1??k?1nk解因为?P{X?k}??b??1k?1k?1(1??n)?即limSn?limb·??1于是可知,当??1时,b·?1 n??n??1??1??1所以???1,(因b?0)所以应选(C).1?b三、计算证明题
8
1.一个袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布.解X的可能取值为3,4,5.11?310C5事件{X?3},只能是取出的3只球号码分布为1,2,3,只有一种取法，所以P{X?3}?事件{X?4},意味着3只球中最大号码是4，另外2个号码可在1，2，3中任取2只，共有C32种取法，故C323P{X?4}?3?C510事件{X?5},意味着3只球中最大号码是5，另外2个号码可在1，2，3,4中任取22只，共有C2?6种取法，故2C43P{X?5}?3?C55
从而，X的概率分布是 X 3 4 5
313 P
510102.一汽车沿一街道行使，需要通过三个均设有红绿灯信号的路口，每个信号灯为红和绿与其它信号为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的概率分布.解由题设知X的可能值为0,1,2,3,设Ai(i?1,2,3)表示\汽车在第i个路口首次遇到红灯\，A1,A2,A3相互独立，且P(Ai)?P(Ai)?P{X?0}?P(A1)?121,于是2122
P{X?1}?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?1231P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?32故分布律为P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)? X 0 1 2 3 P
1111 2 3 3 2222 9
3.设随机变量X的可能取值为?1,0,1,且取这三个值的概率之比为1:2:3,试求X的概率分布.1???10?X~??ppp3?2?1?依题意p1:p2:p3?1:2:3解记即p1?2p1?3p1?1??10X~?11??631?1??2?故
而p1?p2?p3?1p3?1 211p1?，p2?,63本科概率论与数理统计作业卷(四)
一、填空题
1.设随机变量X服从泊松分布，并且已知P?X?1??P?X?2?,则P?X?4?＝______.解由题设,X的分布律为:P{X?k}??kk!e??,k?0,1,2,???本题的关键为先要求出参数?的值.由P{X?1}?P{X?2}得?e因为??0,得??2,于是24?22?2P{X?4}?e?e?0.902.4!3??22e??,即?2?2??0?2，p?的二项分布，随机变量Y服从参数2.设随机变量X服从参数为为(3,p)的二项分布，若P?X?1??解5,则P?Y?1??__________.95200?P{X?1}?1?P{X?1}?1?C2p(1?p)2?1?(1?p)2,(1?p)? 9321900P{Y?1}?1?P{Y?1}?1?C3p(1?p)3?1?()3?32719所以应填.273.设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)由概率分布密度fY(y)?_________.分析因为Y在(0,4)区间内的分布函数FY(y)为FY(y)?P{Y?y}?P{X?所以，fY?dFY(y)1?dy4yy}??y011dx?y22故应填14y
(0?y?4) 10