第十二教时
教材：反函数（1）
目的：要求学生掌握反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。 过程：
一、复习：映射、一一映射及函数的近代定义。二、反函数的引入及其定义：
1．映射的例子：①这个映射所决定的函数是： y = 3x ? 1
②这个映射是有方向的：f:：A B ( f：x y = 3x ? 1)
③如果把方向“倒过来”呢？
（写成） f ?1： A B ( f ?1：y x? ④观察一下函数 y = 3x ? 1与函数 x?y?1) 3[来源学科网ZXXK]
y?1 的联系 3 我们发现：它们之间自变量与函数对调了；定义域与值域也对调了，后者的解析是前
者解析中解出来的（x）。
2．得出结论：函数 x?定义：P66 （略）
注意：（再反复强调）：①用 y表示 x , x = ? (y)
②满足函数的（近代）定义③自变量与函数对调 ④定义域与值域对调 ⑤写法：x = f ?1(y)
考虑到“用 y表示自变量 x的函数”的习惯，将 x = f ?1(y) 写成 y = f ?1(x) 如上例 f ?1：y?x?1 3[来源学科网ZXXK]y?1 称作函数 y = 3x ? 1的反函数。 3
3．几个必须清楚的问题：
1? 如果 y = f (x) 有反函数 y = f ?1(x)，那么 y = f ?1(x) 的反函数是 y = f (x)，它们互为反函数。
2? 并不是所有的函数都有反函数。如 y = x2（可作映射说明）
因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个函数才有反函数。 3? 两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域
原函数的值域是它的反函数的定义域 如：x?y(y?Z)不是函数 y = 2 x ( x ? Z ) 的反函数。 24? 指导阅读课本，包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。 三、求反函数：
1．例题：（见P66—67 例一）
注意：1? 强调：求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一
映射。
2? 求出反函数后习惯上必须将 x、y 对调，写成习惯形式。 3? 求出反函数后必须写出这个函数的定义域——原函数的值域。
2．小结：求函数反函数的步骤：
1?判析 2?反解 3?互换 4?写出定义域 3．补充例题：
1? 求函数 y?1?1?x2 （?1≤ x < 0）的反函数。
[来源学科网]
解：∵ ?1≤ x < 0 ∴0 < x2 ≤ 1 ∴0≤1 ? x2 < 1
∴ 0 ≤1?x2< 1 ∴0 < y ≤ 1
由：y?1?1?x2 解得：x??2y?y2 (∵ ?1≤ x < 0 ) ∴y?1?1?x2(?1≤ x < 0)的反函数是：y??2x?x2( 0 < x ≤1 )
?x2?1(0?x?1) 2? 求函数 y??2的反函数。
(?1?x?0)?x解：①当 0≤ x ≤1时， ?1 ≤ x2?1 ≤ 0 即 0 ≤ y ≤ 1
由 y = x2?1 (0≤ x ≤1) 解得 x??y?1 (?1≤ y ≤ 0)
∴ f ?1(x) = ?x?1 (?1≤ x ≤ 0)
②当 ?1≤ x < 0时， 0 < x2 ≤ 1 即 0 < y ≤ 1
[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]
由 y = x2 (?1≤ x < 0) 解得 x??y (0 < y ≤ 1) ∴ f ?1(x) = ?x (0 < x ≤ 1)
?x?1(?1?x?0)∴所求反函数为：y??
(0?x?1)??x四、小结：反函数的定义、求法、注意点。
五、作业：课本 P66练习 1 P66—69 习题2.4 1、2
《课课练》 P61“例题推荐”1、2 P62 7、8