二次函数最值问题
例1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这
条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?21世纪教育网
1解：（1）S??x2?20x
21（2）∵a=-<0 ∴S有最大值
2b20∴x?????20
12a2?（?）21∴ S的最大值为S???202?20?20?200
2∴当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是200cm2。 2.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值.
1解：（1）∵S△PBQ=PB·BQ,
2PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，
1∴y=（18－2x）x，即y=－x2+9x（0 2（2）由（1）知：y=－x2+9x， 9981∴y=－(x－）2 +,∵当0 224而0 3．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以 1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如 果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动． （1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关 系式，并指出自变量t的取值范围． （2）t为何值时，S最小？最小值是多少？ 解：（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6﹣t）cm，BQ=2tcm， 故S△PBQ=?（6﹣t）?2t=﹣t2+6t 1 ∵S矩形ABCD=6×12=72．∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）； （2）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63，∴当t=3秒时，S有最小值63cm． 4．在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园 的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图，若设花园的BC边长为x（m）花园 的面积为y（m2） （1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量的x的范围． （2）当x取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？ 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC， ∵BC=xm，AB+BC+CD=40m，∴AB=∴花园的面积为：y=x? ， =﹣x2+20x（0＜x≤15）； ∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x2+20x（0＜x≤15）； （2）∵y=﹣x2+20x=﹣（x﹣20）2+200， ∵a=﹣＜0，∴当x＜20时，y随x的增大而增大， ∴当x=15时，y最大，最大值y=187.5． ∴当x取15时花园的面积最大，最大面积为187.5． 5.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1． 试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y， 则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4） 易知CN=4-x，EM=4-y． 过点B作BH⊥PN于点H 则有△AFB∽△BHP ∴ AFBH24?x?，即?， BFPH1y?31∴y??x?5， 21S?xy??x2?5x(2?x?4)， 2此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y随x的增大而增大， 1对于2?x?4来说，当x=4时，S最大???42?5?4?12． 26．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米． 2 (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？ (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ 解：(1)∵长为x米，则宽为 S?x?50?x米，设面积为S平方米． 350?x1??(x2?50x) 331625??(x?25)2? 33625∴当x?25时，Smax?(平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大． 350?x(2) 中间有n道篱笆，则宽为米，设面积为S平方米． n?250?x1??(x2?50x) 则：S?x?n?2n?21625??(x?25)2? n?2n?2625∴当x?25时，Smax?(平方米) n?2由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米． 即：使面积最大的x值与中间有多少道隔墙无关． 7．如图，矩形ABCD的边AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=x cm，CQ=y cm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式． A D Q B P C 解：∵∠APQ=90°, ∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°, ∴∠QPC=∠BAP，∠B=∠C=90° ∴△ABP∽△PCQ. 14ABBP6x?,?,∴y??x2?x． 63PCCQ8?xy8.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边 长x(单位：米)的变化而变化． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 60?2x?x??x2?30x 解：（1）根据题意，得S?2自变量的取值范围是 （2）∵a??1?0，∴S有最大值 3 当 时， 答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米． 9. 较难 如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜秒．解答如下问题： （1）当t为何值时，PQ∥BO？ （2）设△AQP的面积为S， ①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； ） 解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8， ∴AB= = =10． 如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t． ∵PQ∥BO，∴∴当t= ，即 ，解得t= ， 秒时，PQ∥BO． （2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10． ①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO， ∴ ，即 ，解得PD=6﹣t． S=AQ?PD=?2t?（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5， ∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）． ）， 4