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习题1
1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f，质量为m，求它的弹性系数。
解：由公式fo?12?Km得： MmKm?(2?f)2m
1-2 设有一质量Mm用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：
（1） 当这一质点被拉离平衡位置?时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ （2） 当外力去掉后，质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？ （答：f0?12?g，g为重力加速度） l
图 习题1－2
解：（1）如右图所示，对Mm作受力分析：它受重力Mmg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两
力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为?，则sin??受力分析可得：F?Mmgsin??Mmg?l
?l
（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位
d2?移的方向相反。由牛顿定律可知：F??Mm2
dt
d2??d2?g则 ?Mm2?Mmg 即 2???0,
dtldtl ? ?02?g1 即 f0?l2πg, 这就是小球产生的振动频率。 l
1-3 有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x0处，挂着一质量Mm，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置?时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ (2) 当外力去掉后，质量Mm在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？ (3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对Mm进行受力分析，见右图，
Fx?Tl?x0(l?x0)??22
?Tx0x??202?0
22??2?x0,(l?x0)2??2?(l?x0)2 。（????x0 ，?x0）
Fy?T?(l?x0)2??2?T?2x0??2
图 习题1-3
?T?l?x0?T?x0
?Tl?
x0(l?x0)Tl。
x0(l?x0)可见质量Mm受力可等效为一个质点振动系统，质量M?Mm，弹性系数k?（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F?Tl?，方向为竖直向下。
x0(l?x0)（2）振动频率为??K?MTl。
x0(l?x0)Mml时，系统的振动频率最低。 2（3）对?分析可得，当x0?1-4 设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的x0位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移?0以保持力的平衡，并假定M
离平衡位置?0的振动?位移很小，满足????0条件。
图 习题1－4
2Tcos??Mg???4???0?Mg 解：如右图所示，受力分析可得 cos??0??l1?l?2?又????0，T'?T，可得振动方程为 ?2T?0??l2d2??M2
dtd2?4T4T?????0 即 Mdt2ll? f?12?4Tl1?M2?Mg1??0M2?g?0
1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。 解：设振动位移???acos(?0t??)， 速度表达式为v???0?asin(?0t??)。 由于?t?0??0，vt?0?0，
代入上面两式计算可得：
???0cos?0t ；
v???0?0sin?0t。
振动能量E?11222Mmva?Mm?0?a。 221-6 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为v0，试求其振动位移、速度、和能量。 解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为Km，质量为Mm，取正方向沿x轴，位移为?。
d2?Km22????0, 则质点自由振动方程为 （其中??,） 002dtMm 解得 ???acos(?0t??0),
v?d????0?asin(?0t??0??)??0?acos(?0t??0?) dt21?222?????v???cos?a000??0a0当?v???0t?0??0，vt?0?0时， ???v?? ??0??0?acos(?02)?v0???0?arctan?0?0质点振动位移为??1??2?2200?v0cos(?v00t?arctan)
0?0?0质点振动速度为v??2?22v0?00?v0cos(?0t?arctan???)
002质点振动的能量为E?12Mv21222ma?2Mm(?0?0?v0) 1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、?sin?t?12sin2?t，试问：
(1) 在什么时候位移最大？ (2) 在什么时候速度最大？
解：???sin?t?12sin2?t，
?d?dt??cos?t??cos2?t
d2?dt2???2sin?t?2?2sin2?t。 令
d?dt?0，得：?t?2k???3或?t?2k???， 经检验后得：t?2k???3?时，位移最大。
令d2?dt?0，得： ?t?k?或?t?2k??arccos(?124)，
经检验后得：t?2k??时，速度最大。
1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示
???1cos(?t??1)??2cos(?t??2)
不同振幅振动的叠加
?
试证明 ???acos?(t??) 其中?a??12??22?2?1?2cos(?2??1)，??arctan证明：???1cos(?t??1)??2cos(?t??2) ??1cos?tco?s1??1 ?co?st?(1?1sin?1??2sin?2
?1cos?1??2cos?2sit?n2s?in?1?2tc?os2??cost?s in?sin2? sinc?o1s???co2?s?)t?sin??1?(1sin2?)设 A??1cos?1??2cos?2 ，B??(?1sin?1??2sin?2)
B则 ??Acos?t?Bsin?t=A2?B2cos(?t??) （其中??arctan(?)）
A又 A2?B2??12cos2?1??22cos2?2?2?1?2cos?1cos?2
22 ??12sin?1??22sin?2??21?2si?n1 s?i2n ??12??22?2?1?2(cos?1cos?2?sin?1sin?2) ??12??22?2?1?2cos(?2??1)
B?1sin?1??2sin?2又 ??arcta?n(?a)rctan )(A?1cos?1??2co?s2 令 ?a?A2?B2??12??22?2?1?2cos(?2??1) 则 ???acos?(t??)
1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示
???1cosw1t??2cosw2t (w2?w1)
试证明
???acos(w1t??)，
其中?a??1??2?2?1?2cos(?wt),??arctan22?2sin(?wt),?w?w1?w2.
?1??2cos(?wt)解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。 由余弦定理知，
?a??12??22?2?1?2cos(w2t?w1t)
??1??2?2?1?2cos(?wt)
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