第九讲 等差数列、等比数列
数列等差数列通项公式定义前n项和公式性质等比数列通项公式定义前n项和公式性质
1．(等比数列的前n项和)(2013·北京高考)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______；前n项和Sn＝________.
【解析】 设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n项和公式求Sn.
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则： 由a2＋a4＝20得a1q(1＋q2)＝20.① 由a3＋a5＝40得a1q2(1＋q2)＝40.② 由①②解得q＝2，a1＝2.
a1?1－qn?2?1－2n?n＋1故Sn＝＝＝2－2.
1－q1－2【答案】 2 2n1－2
＋
2．(等差数列的性质)在等差数列{an}中，若a2，a2 014为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 008＋a2 015＝________.
【解析】 由题意知a2＋a2 014＝10，所以a1 008＝5. 所以a1＋a1 008＋a2 015＝3a1 008＝3×5＝15. 【答案】 15
3．(等比数列的性质)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7＝________.
【解析】 在等比数列{an}中，a3a7＝a25；a2a6＝a3a5，所以
2222
a23＋2a2a6＋a3a7＝a3＋2a3a5＋a5＝(a3＋a5)＝(22)＝8.
【答案】 8
2an＋114．(等差数列的通项公式)若数列{an}满足＝，且a1＝3，则an＝________ .
anan＋1
2an＋1111
【解析】 由＝，得－＝2，
anan＋1an＋1an11
∴数列{}是首项为，公差为2的等差数列．
an3115
∴＝＋(n－1)×2＝2n－， an333∴an＝.
6n－5【答案】
3 6n－5
5．(等差数列前n项和)已知正数组成的等差数列{an}，其前20项和为100，则a7·a14
的最大值是__________．
20?a1＋a20?【解析】 ∵S20＝＝100，
2
∴a1＋a20＝10. ∵an>0，
a7＋a142a1＋a202
∴a7·a14≤()＝()＝25，
22
当且仅当a7＝a14时取“＝”． 【答案】 25
等差、等比数列的基本运算 (1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，
Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(2)(2013·湖北高考)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125. ①求数列{an}的通项公式．
111
②是否存在正整数m，使得＋＋?＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，
a1a2am
说明理由．
【思路点拨】 (1)先求am，am＋1，再根据am，am＋1，Sm列方程组求m.
?1?
(2)①先求得a1和公比q，再求通项公式；②根据数列 ?a?仍然构成等比数列可求得数
?n?
?1?
列 ?a?的前m项和，进而作出判断． ?n?
【自主解答】 (1)∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0， ∴am＝Sm－Sm－1＝2.
∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3， ∴d＝am＋1－am＝1.
m?a1＋am?m?a1＋2?
又Sm＝＝＝0，
22
∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5. 【答案】 C
33???a1＝3，?a1q＝125，
?(2)①设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得解得?2
?|a1q－a1q|＝10，??
5
?q＝3，
或
??a1＝－5，
? ??q＝－1.
5n－1－
故an＝·3，或an＝－5·(－1)n1.
3
5n－113?1?n－1
②若an＝·3，则＝·，
3an5?3??1?31
故数列 ?a?是首项为，公比为的等比数列．
53?n?
3??1?m?·1－m15??3??9??1?m?9
从而? ＝＝·1－<<1.
a110??3??10n＝1n
1－3
11－－
若an＝(－5)·(－1)n1，则＝－(－1)n1，
an5
?1?1
故数列?a?是首项为－，公比为－1的等比数列，
5?n?
1?m1m1?－5，m＝2k－1?k∈N＋?，
从而? ＝?故? <1. n＝1ann＝1an??0，m＝2k?k∈N＋?.
111
故不存在正整数m，使得＋＋?＋≥1成立．
a1a2am
1．本例(2)中，通项公式含(－1)n1，故需分n为奇数与偶数两种情况讨论．
－
2．涉及等差(比)数列的运算，一般是利用等差(比)数列的通项公式、求和公式“知三求二”．体现了方程思想的应用．
3．在使用等比数列前n项和公式时，若公比q不能确定是否为1，应分q＝1和q≠1两种情况讨论．
变式训练1 (2013·潍坊模拟)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
【解】 (1)因为{an}是一个等差数列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，所以a4＝28. 设数列{an}的公差为d，
则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9. 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1， 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)． (2)对m∈N*，若9m
－
－
故得bm＝92m1－9m1.
－
－
于是Sm＝b1＋b2＋b3＋?＋bm
＝(9＋93＋?＋92m1)－(1＋9＋?＋9m1)
－
－
9×?1－81m??1－9m?＝－ 1－811－9
92m1－10×9m＋1＝.
80
＋
等差、等比数列的性质 【命题要点】 ①利用等差数列的性质求某一项，求和；②利用等比数列的性质，求值.
(1)等差数列{an}中，如果a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，数列{an}
前9项的和为( )
A．297 B．144 C．99 D．66
a29
(2)(2013·三门峡模拟)在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为( )
a11A．9 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】 (1)先求a4和a6，然后再根据a1＋a9＝a4＋a6求S9.
2
(2)先求a7，再利用a9＝a11·a7求解．
【自主解答】 (1)由a1＋a4＋a7＝39，得3a4＝39，a4＝13. 由a3＋a6＋a9＝27，得3a6＝27，a6＝9. 9?a1＋a9?9?a4＋a6?9×?13＋9?所以S9＝＝＝＝99.
222(2)由a3a5a7a9a11＝a57＝243得a7＝3， a2a11·a79
所以＝＝a7＝3.
a11a11【答案】 (1)C (2)D
2
1．本例(2)用a9＝a11a7求解，过程简单，当然也可以把a9、a11用a7、公比q表示出来，
求解．
2．等差、等比数列的性质