留数的理论及应用
摘 要：留数定理是复积分和复级数理论相结合的产物，需要正确理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类和函数在孤立奇点的留数概念．掌握留数的计算法，特别是极点处留数的求法，实际中会用留数求一些实积分．留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系．现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具．留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分的问题有密切关系．此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域内函数的零点分布状况．
关键词：留数理论；泰勒级数；积分
Residue Theory and Its Application
Abstract：Residue theorem is a complex series points and complex product of the combination of theory，the need to correctly understand the concept of an isolated singular point with the isolation of the classification and function in the isolated singular point of the concept of residue．Have left the number of calculations，especially Department to stay the number of poles for law，in practice．Will remain a few point for some of it．To stay the number of complex function theory，one important concept，it is analytic function in the isolated singular point Laurent expansions，Cauchy’s theorem，such as closed-circuit complex are closely linked．Research now is to stay a few theories Cauchy integral theory is the continuation of the middle insert Taylor series and Laurent’s series is to study a powerful tool for analytic functions．Stay a few in the complex function theory and practical application in itself is very important and calculation of weeks of its line integral is closely related to the problem．In addition the application of residue theory，we have the conditions to solve the”ide range”he integral calculation can also visit the region function against distribution．
Key word：Cauchy integral theory；Theory of Taylor；Series to stay a few points
引言
对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分
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和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．
1.留数的定义
定义1 设函数f?z?以有限点a为孤立奇点，即f?z?在点a的某去心邻域
0?z?a?R内解析，则称积分
?2?i1?f?z?dz??:z?a??,0???R?
为f?z?在点a的留数(residue)，记为Resf?z?．
z?a定义2 设?为函数f?z?的一个孤立奇点，即f?z?在去心邻域
N????:0?r?z???内解析，则称
12?i???f?z?dz,??:z???r?
为f?z?在点?的留数，记为Resf?z?，这里??是指顺时针方向(这个方向很自然地可
z??以看作是绕无穷远点的正向)．
2.留数的定理
定理1 (柯西留数定理) f?z?在周线或复周线C所范围的区域D内，除
a1,a2,?,an外解析，在闭域D?D?Cn上除a1,a2,?,an外连续，则(“大范围”积分)
?Cf?z?dz?2?i?Resfk?1z?ak?z?．
定理2 设a为f?z?的n阶极点，
f?z????z??z?a?n，
其中??z?在点a解析，??a??0，则
Resfz?a?z???n?1???a?． n?1!??n?1??n?1?这里符号????a?代表??a?，且有?0???a??limz?a?z?．
推论3 设a为f?z?的一阶极点，??z???z?a?f?z?，
2
则 Resf?z????a?．
z?a推论4 设a为f?z?的二阶极点，??z???z?a?f?z?， 则 Resf?z???'?a?．
z?a2定理5 设a为f?z????z???z?的一阶极点(只要??z?及??z?在点a解析，且
??a??0,??a??0,?'?a??0.)，
则 Resf?z??z?a??a??'?a?．
定理6 如果函数f?z?在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，设为a1,a2,?,an,?，则f?z?在各点的留数总和为零．
定理7 设f?z??Q?z??b0z?b1znn?1P?z?Q?z?为有理分式，其中P?z??c0zm?c1zm?1???cm?c0?0?与
???bn?b0?0?为互质多项式，且符合条件：(1) n?m?2；(2)在
实轴上Q?z??0，于是有
?定理8 设g?z??P?z?Q?z?????f?x?dx?2?i?Imak?0Resf?z?．
z?ak，其中P?z?及Q?z?是互质多项式，且符合条件：(1) Q?z?的次数比P?z?的次数高，(2)在实轴上Q?z??0，(3) m?0，则有
?????g?x?eimxdx?2?i?Imak?0Res??g?z?ez?akimz?． ?定理9 设C是一条周线，f?z?符合条件：(1) f?z?在C的内部是亚纯的；(2)
f?z?在C上解析且不为零．则有
?2?i1f'?z?Cf?z?dz?N?f,C??P?f,C?，
式中N?f,C?与P?f,C?分别表示f?z?在C内部的零点与极点的个数(一个n阶零点算作n个零点，而一个m阶极点算作m个极点)．
3
定理10(儒歇定理) 设C是一条周线，函数f?z?及??z?满足条件：(1)它们在C的内部均解析，且连续到C；(2)在C上，f?z????z?，则函数f?z?与f?z????z?在C的内部有同样多(几阶算作几个)的零点，即
N?f??,C??N?f,C?．
3.留数的引理
?引理1 设f?z?沿圆弧SR:z?Rie (?1????2，R充分大)上连续，且
R???limzf?z???于SR上一致成立(即与?1????2中的?无关)，则
limR????SRf?z?dz?i??2??1??．
引理2(若尔当引理) 设函数g?z?沿半圆周?R:z?Rei? (0????，R充分大)上连续，且limg?z??0在?R上一致成立，则
R???R???lim??Rg?z?eimzdz?0?m?0?．
引理3 (1)设a为f?z?的n阶零点，则a必为函数
?f'?z??Res???n； z?a?f?z??f'?z?f?z?的一阶极点，并且
(2)设b为f?z?的m阶极点，则b必为函数
f'?z?f?z?的一阶极点，并且
?f'?z??Res????mz?bfz????．
4.留数的计算
例1 计算积分?5z?2z?2z?z?1?2dz．
解 显然，被积函数f?z??阶级点z?1．
5z?2z?z?1?2在圆周z?2的内部只有一阶极点z?0及二
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由推论3， Resf?z??z?05z?2?z?1?2|z?0??2；
5z?2?2由推论4， Resf?z???|?|?2； ??z?12z?1z?1z?z?'故由留数定理得 例2 计算积分?解 tan?z??5z?2z?2z?z?1?2dz?2?i??2?2??0．
z?ntan?zdz (n为正整数)．
12,?k?0,?1,??为一阶极点，由定理5
sin?zcos?z只以z?k?得
Res?tan?z??z?k?12sin?z?cos?z?'|z?k???121?,?k?0,?1,??．
于是，由留数定理得
?z?ntan?zdz?2?i?k?12?nRes?tan?z?
z?k?12?2n??2?i???
?????4ni．
例3 计算积分?解 f?z??coszz3coszz?1z3dz．
只以z?0为三阶极点．由定理2得
Resfz?0?z??12!?cosz?z?0''??12，
故由留数定理得
?1coszz?1z3?1?dz?2?i??????i．
?2?例4 计算积分?z?1ezdz．
21解 在单位圆周z?1的内部，函数ez只有一个本质奇点z?0．在该点的去心邻
12域内由洛朗展式 ez?1?21z2?112!z4??，
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