《初等数学专题研究》
课程论文要求
（第一学期）
Euler 恒等式 ei??1?0中最著名的五朵金花0,1 ( 来自算术) , i ( 来自代数) , ? ( 来自几何) , e ( 来自分析学) 妙不可言地同时绽开, 两个最著名的超越数结伴而行, 实数和虚数熔于一炉, 被德国数学家Klein称为整个数学中最卓越的公式之一.
你必须承认数学很美妙，它吸引着我们去了解、去思考……
一、课程论文选题范围与内容要求
1. 复数——“数系扩张的终结者？”
我们如何理解纪志刚在《从记数法到复数域: 数系理论的历史发展》一文中的论述：?当人们澄清了复数的概念后, 新的问题是: 是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢?答案是否定的。当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时, 他发现自己被迫要做两个让步: 第一, 他的新数要包含四个分量; 第二, 他必须牺牲乘法交换率。这两个特点都是对传统数系的革命。他称这新的数为‘四元数’。‘四元数’的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束。?
2. 无理数指数幂不“无理”
如何将指数从有理数推广为实数？无理数指数幂有意义吗？中学数学中用过剩近似值及不足近似值逼近地方法帮助学生探究无理数指数幂的意义。有更准确、严格的定义吗？在这定义下指数律还适合吗？如何计算无理数指数幂？
3. 自然常数e为什么“自然”？
释疑：论坛一学生表达：?e是一个重要的常数，但是我一直不知道，它的真正含义是什么。维基百科说：‘e是自然对数的底数’但是，去看‘自然对数’，得到的解释却是：‘自然对数是以e为底的对数函数，e是一个无理数，约等于
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2.718281828。’这就构成了循环定义，完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很\自然\，这难道不是很奇怪的事情吗？?
4. 正交变换概念辨析
（某省教师资格考试大纲样例，单项选择题）在高等代数中，有一种线性变换叫做正交变换，即不改变任意两点距离的变换。下列变换中不是正交变换的是 A. 平移变换 B. 旋转变换 C. 反射变换 D. 相似变换 显然它需要的答案是D 相似变换
但也《高等代数》课程教师认为平移变换不是正交变换。孰是孰非？
5. 高考试题中的斐波纳契数列
在很多领域都能看到数学上著名的?斐波纳契数列?，下面的文字源自《国际先驱导报》：聆听巴赫的《赋格的艺术》的第一对位曲，是一种无法用言语描绘的悦耳感。音乐简洁地开始，清晰而纯净。然后迅速地重叠，形成精美的螺旋形的主旋律。让你不由自主地想倒盘旋上升的阶梯，或者海贝壳的纹络。1964年，美国数学界的一本学术季刊《斐波纳契季刊》以数学论据引证出《赋格的艺术》的精确性背后的数学定理——在这件作品中，巴赫开拓出了新的手法，接近他为之倾注了毕生心血的?和声?，其结果是一组完美数列的组合。它就是神秘的?斐波纳契数列?。
什么是?斐波纳契数列?？它有哪些性质和应用？它如何体现了数学美？它如何影响着其它领域的研究？这些问题我们在已有的文献中能找到充分的答案。那么，这么重要的数列在高考试题中以什么面目出现？对这些试题我们能展开怎样的联想？
6. 圆锥曲线性质
圆锥曲线是高中数学的重要内容，其涉及的基础知识、数学思想与方法在高等数学的学习中起着重要作用。圆锥曲线耐人寻味的性质不仅是高考、数学竞赛的热点，还是初等数学研究者的偏爱。你能介绍圆锥曲线某个有趣的性质吗？
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例如：抛物线的焦点弦有丰富的性质和应用价值，你可能有一定的感受，但这种感受是不全面和深入的，你如果有兴趣，可以在先探讨抛物线的基础上，把范围扩展到椭圆和双曲线，你会有惊喜的发现！
7. 圆命题在圆锥曲线中的演变推广
阅读圆锥曲线的命名由来和研究进展，你将了解这一领域的研究状况和重要结论。古希腊的阿波罗尼阿斯对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，后人在很长一段时间里没有可以突破的余地，直到17世纪，帕斯卡、笛卡尔创立解析几何，用新的方法进行研究才打破了这一僵局，将圆锥曲线研究作了实质性的推进。阅读和已有的学习经验告诉我们，圆与圆锥曲线之间存在微妙对应关系，这就导致许多与圆有关的几何命题，都可以向圆锥曲线上的演变推广，通过这一研究你将了解怎样发现几何问题，如何研究几何问题。
8. 椭圆切线性质及几何作法
几何学科是从研究几何图形开始的，几何作图有助于学生研究几何图形的性质特点，有助于加深几何定理的理解和定理的掌握，也有助于锻炼学生的逻辑思维能力，分析能力和动手能力，培养学生学习几何的兴趣。以椭圆切线作法为例，你必须在对椭圆切线进行深入研究的基础上，得到椭圆切线的若干性质。利用这些性质研究如何用尺规法画出椭圆的切线。
9. 应用微积分法解初等数学问题研究
首都师范大学附中杜君毅在文《应用微积分法解初等数学问题研究》中，例举用微积分方法解决三等分线段、均值不等式、渐近线等初等数学问题，通过为学生展示更多的用微积分来解决初等问题的方式，帮助学生体会到微积分的巨大意义,并激发学生应用微积分知识来解决初等数学问题的兴趣。微积分在初等数学中的应用还有很多，我们能不能梳理出一些有教学价值的例题？
10. 构造几何图形解决代数问题
?数缺形时少直观，形少数时难入微（华罗庚）?。数形结合的思想方法体现
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了代数和几何中最精彩的方面：几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性、解题过程机械化、可操作性强，便于把握。?数形结合?是经久不衰的话题，用代数方法研究解决几何问题更是解析几何的基本思想。
我们能否找到一些熟悉的代数结论，用构造几何图形的方法巧妙地解决。
二、课程论文格式要求（详见附录）
1．论文题目：根据以上选题自定。 2．论文篇幅：正文要求不少于*****字。
3．参考文献：论文中所引用的参考文献列在正文最后。 4. 装订顺序：封面、成绩评定表、正文
三．成绩评定依据
1．权重：课程论文按100分计，占课程总成绩的70%. 2．评分要点：
1) 选题符合课程内容，在选题参考范围内； 2) 工作态度和研究作风；
3) 论文阐述的逻辑性、合理性以及语言的通顺流畅； 4) 论文的创新性；
5) 论文格式是否符合规范化要求以及附加信息是否完备； 6) 独立完成，内容上无抄袭现象。
3. 评分标准：详见成绩评定表，不符合上述评分要点中1)、6)条中任意一条按不及格处理。
*推荐期刊：课程教材教法、数学教育学报、教学月刊、数学通报、中学数学教学参考、数学通讯、数学教学
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附件：课程论文封面
本科课程论文
论文题目 课程名称 任课教师 所在专业 学生姓名 完成日期
年级 学号
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