24．2 相似三角形的判定（一）
[教材分析] 本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形
判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定定理．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握分析、比较、类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位．
[教学目标]
知识与技能目标：
（1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角． （2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”． 过程与方法目标：
（1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能
力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法． （2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的
灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．
情感与态度目标：
（1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感
悟数学知识的奇妙无穷．
（2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦． [教学重点] 相似三角形判定定理的预备定理的探索 [教学难点] 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明 [教学方法] 探究法
[教学媒体] 多媒体课件 直尺、 三角板 [教学过程]
一、课前准备
1、全等三角形的基础知识
2、三角形中位线定理及其证明方法 3、平行四边形的判定和性质 4、相似多边形的定义 5、比例的性质 二、复习引入
（一）复习 1、相似图形指的是什么？
2、什么叫做相似三角形？
（二）引入 如图1，△ABC与△A’B’C’相似.
图1
记作“△ABC∽△A’B’C’”， 读作“△ABC相似于△A’B’C’”．
[注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角．
对于△ABC ∽△A’B’C’,根据相似形的定义,应有 ∠A＝∠A’， ∠B＝∠B’ , ∠C＝∠C’,
ABBCCA＝＝. A'B'B'C'C'A'[问题]：将△ABC与△A’B’C’相似比记为k1,△A’B’C’与△ABC相似比记为k2,那么k1 与k2有什么关系? k1＝ k2能成立吗? 三、探索交流 （一）［探究］1、在△ABC中，D为AB的中点，如图2，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？
（1）“角” ∠BAC＝∠DAE．
∵DB∥BC, ∴∠ADE＝∠B, ∠AED＝∠C． （2）“边” 要证明对应边的比相等，有哪些方法？
Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理
∵DB∥BC，D为AB的中点，
∴E为AC的中点，即DE是△ABC的中位线． 图2
（三角形中位线定理的逆定理）
1BC．（三角形中位线定理） 2ADAEDE1∴＝＝＝． ABACBC2∴DE＝
∴△ADE∽△ABC．
Ⅱ、利用全等三角形和平行四边形知识 过点D作DF∥AC交BC于点F，如图3． 则△ADE≌△ABC,（ASA） 且四边形DFCE为平行四边形.
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 图3 ∴DE＝BF＝FC. ∴
ADAEDE1＝＝＝． ABACBC2∴△ADE∽△ABC．
2、当D1、D2为AB的三等分点，如图4．过点D1、D2分别作 BC的平行线，交AC于点E1、E2，那么△AD1E1、△AD2E2与△ABC相似吗？
由（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1与△ABC相似，关键是证对应边的比相等．
过点D1、D2分别作AC的平行线，交BC于点F1、F2，设D1F1与D2F2
相交于G点．
则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2,（ASA）
且四边形D1F1CE1、D2F2CE2、D1GE2E1、D2F2F1G为平行四边形.
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
图4 ∴D1E1＝BF2＝F2F1＝F1C， ∴AE1＝E1E2＝E2C，
∴
AD1AE1DE1＝＝11＝．
3ABACBC∴△AD1E1∽△ABC． ∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．
[思考]：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？ 过点D2分别作AC的平行线，交BC于点F2，如图5． 则四边形D2F2CE2为平行四边形，
且△AD1E1≌D2BF2,（ASA） ∴D2E2＝F2C，D1E1＝BF2． 由（1）知，D1E1＝
11D2E2，AE1＝22AE2，
图５
∴D1E1＝
AD1AE1DE111BC，AE1＝AC． ∴＝＝11＝． 333ABACBC∴△AD1E1∽△ABC． ∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．
（二）［猜想］3、通过上面两个特例，可以猜测：当D为AB上任一点时，如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC．
图6
（三）［归纳］定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
这个定理可以证明，这里从略． 四、应用迁移
[操作]：课本第53～54页练习1、3
练习1、如图案，点D在△ABC 的边AB上，DB∥BC交AC于点E． 写出所有可能成立的比例式．
练习3、在第1题中，如果
AD3＝，AC＝8cm．求AE长． DB2五、整理反思
（一）小结 内容总结 思想归纳
图7
（二）反思 六、布置作业
课本第53～54页 练习2．
《基础训练》第41～42页 练习2、3． 思考题：
如图8、过△ABC的边AB上任意一点D，作DE∥BC交AC于点E， 那么
ADAE＝． DBEC 图8 板书设计 相似三角形 记号 读法 注意 定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
[教学反思]
新课程提出，学习目标应由“关注知识”转向“关注学生”，课堂设计应由“给出知识”转向“引起活动”得到“经历、体验”。在课堂中，教师也积极地创设出有利于学生主动参与的教学情境，激发学生的学习兴趣，充分地调动学生学习积极性，给学生留有思考和探索的余地，让学生能在独立思考与合作交流中解决学习中的问题．
这节课是教学公开课，课前让学生允分的预习。在这种前提下，感觉教学过程进行非常顺利，学生学习也达到目标。这样使我感觉到：“先学后教”对学生自学能力的培养无疑有促进作用，教师在课堂教学中把引导学生学会学习放到教学的首位，教师在引导自学和发现、帮助学生克服学习困难上下工夫，这种先学后教的教学要求有效地制约了习惯于“满堂灌”的教师，这对贯彻“以学生为主体”的教学理念是十分重要的。这节课在要培养学生的数学探索能力方面做了有益的尝试，探索的过程实质上是一个不断提出设想、验证设想、修正和发展设想的过程。在数学中，它表现在提出数学问题，探求数学结论，探索解决途径，寻找解题规律等一系列有意义的发现活动中，而数学探索能力就集中表现为提出设想和进行转换的本领。教学中，激发学生的学习兴趣，使学生处于探索未知世界的主动地位；在具体教学中要善于引导学生推敲关键性的词句，使学生学会“引申”
24．2 相似三角形的判定 课本第53～54页 探究1、在△ABC中，D为AB的中点 练习1 探究2、当D1、D2为AB的三等分点 猜想 练习3 小结 作业 所学的知识．
课堂教学要充分张扬教师、学生的教学个性。教学要有统一的要求，但无须也不该要统一的方法。教育的最高境界应该是教无定法，学无定法。绚丽多姿的课堂需要个性飞扬的教师，教学管理者应鼓励教师在教学方法、教学技巧、教学手段上标新立异。
附： [定理] 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似
简析：该定理的证明分为两步：先证“思考题”，再证该定理（以直线DE∥BC交AB、AC于点D、E为例）．
[证明]Ⅰ、如图8、过△ABC的边AB上任意一点D，作DE∥BC交AC于点E，那么
ADAE＝． DBEC
图8 图9
证明：如图9，连接BE，过点E作边AB的垂线段h．
∵S△ADE＝
S11AD·h，S△BDE＝DB·h．∴?ADE22S?BDES?AEDAE＝． ECS?CED1AD?hAD2＝＝．
1DBBD?h2同理可证
∵DE∥BC， ∴S△BDE＝S△CED． ∴
S?ADESADAEADAE＝?AED，＝．∴＝．
DBECABACS?BDES?CEDⅡ、如图10，直线DE∥BC交AB、AC于点D、E，则△ADE∽△ABC．
（1）“角” ∠BAC＝∠DAE．
∵DB∥BC, ∴∠ADE＝∠B, ∠AED＝∠C. （2）“边” ∵DB∥BC,
ADAE＝． ABAC过D点作DF∥AC交BC于点F． ∴
FCAD＝． BCAB又∵四边形DFCE是平行四边形，∴ FC＝DE ，
图10
∴
DEADADAEDE＝．∴ ＝＝． BCABABACBC∴ △ADE∽△ABC．