2018年高中数学总复习
高考中档大题专项训练-三角函数与平面向量
1．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝(1)若m⊥n，求tan x的值； π
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
3解 (1)因为m＝?所以m·n＝0，即
22?，n＝(sin x，cos x)，m⊥n. ，－2??2
22
sin x－cos x＝0， 22
?2，－2?，n＝(sin x，cos x)，x∈?0，π?.
?2?2??2
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1. π1
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
32即
π1221
x－?＝， sin x－cos x＝，所以sin??4?2222
ππππ
因为0 2444ππ5π 所以x－＝，即x＝. 4612 1 2018年高中数学总复习 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan A＋tan B)＝(1)证明：a＋b＝2c； (2)求cos C的最小值． (1)证明 由题意知 sin Asin B?sin Asin B ＋2?＝＋?cos Acos B?cos Acos Bcos Acos B， tan Atan B ＋. cos Bcos A 化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，从而sin A＋sin B＝2sin C，由正弦定理得a＋b＝2c. a＋b?2 a2＋b2－?a＋ba＋b－c?2?3?ab?11 (2)解 由(1)知c＝，所以cos C＝＝＝?b＋a?－≥，当且仅22ab2ab842 2 2 2 1 当a＝b时，等号成立，故cos C的最小值为. 2 2 2018年高中数学总复习 3．在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac. (1)求B的大小； (2)求2cos A＋cos C的最大值． 解 (1)由a2＋c2＝b2＋2ac得， a2＋c2－b2＝2ac. 由余弦定理得， a2＋c2cos B＝－b22ac2 2ac＝2ac＝2. 又0＜B＜π，所以B＝π 4. (2)A＋C＝π－B＝π－π4＝3π 4， 所以C＝3π4－A,0＜A＜3π 4. 所以2cos A＋cos C ＝2cos A＋cos?3π?4－A?? ＝2cos A＋cos3π3π 4cos A＋sin 4sin A ＝2cos A－22cos A＋2 2 sin A ＝ 22 2sin A＋2 cos A＝sin??A＋π4??. 因为0＜A＜3π 4 ， 所以ππππ4＜A＋4＜π，故当A＋4＝2， 即A＝π 4 时，2cos A＋cos C取得最大值1. 3 2018年高中数学总复习 π??x－π?－3. －x·4．已知函数f(x)＝4tan xsin?cos?2??3?(1)求f(x)的定义域与最小正周期； ππ －，?上的单调性． (2)讨论f(x)在区间??44?π 解 (1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}． 2π x－?－3 f(x)＝4tan xcos xcos??3?π x－?－3 ＝4sin xcos??3?13 ＝4sin x?cos x＋sin x?－3 2?2?＝2sin xcos x＋23sin2x－3 ＝sin 2x＋3(1－cos 2x)－3 π 2x－?. ＝sin 2x－3cos 2x＝2sin?3??2π 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 2 πππ －＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z. (2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是?2?2?3πππ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 232π5π 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 1212 πππππ5π －，?，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝?－，?. 设A＝??44??124?1212 ππππππ －，?时，f(x)在区间?－，?上单调递增，在区间?－，－?上单调递减． 所以当x∈?12??44??124??4 4 2018年高中数学总复习 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B； (2)若△ABC的面积S＝ a2 ，求角A的大小． 4 (1)证明 由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. a21a2(2)解 由S＝得absin C＝， 424 11 故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B， 22由sin B≠0，得sin C＝cos B. π 又B，C∈(0，π)，所以C＝±B. 2ππ 当B＋C＝时，A＝； 22ππ 当C－B＝时，A＝. 24ππ 综上，A＝或A＝. 24 5