合工大《数字信号处理》习题答案
第2章
习 题
2.1x(n)??(n?4)?2?(n?2)??(n?1)??(n)??(n?1)
?2?(n?2)?4?(n?3)?0.5?(n?4)?2?(n?6)
2??143，所以周期为
2.3 （1）?0（2）
14。
2??0?16?，是无理数，所以x(n)是非周期的。
2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）y(n)?x(n?n0) （2）y(n)?x2(n) （3）y(n)?x(n)sin(?n) （4）y(n)?ex(n)
2.4 （1）由于T[x(n)]?x(n?n0)
T[x(n?m)]?x(n?m?n0)?y(n?m)
所以是时不变系统。
T[ax1(n)?bx2(n)]?ax1(n?n0)?bx2(n?n0)?ay1(n)?by2(n)
所以是线性系统。
（2）T[x(n?m)]?x(n?m)?y(n?m)，所以是时不变系统。
2T[ax1(n)?bx2(n)]?[ax1(n)?bx2(n)]2?ay1(n)?by2(n)，所以是非线性系统。
（3）T[x(n?m)]?x(n?m)sin(?n)?y(n?m)，所以不是时不变系统。
T[ax1(n)?bx2(n)]?[ax1(n)?bx2(n)]sin(?n)?ay1(n)?by2(n)，所以是线性系
统。
（4）T[ax1(n)?bx2(n)]?e系统。
[ax1(n)?bx2(n)]?eax1(n)ebx2(n)?ay1(n)?by2(n)，所以是非线性
T[x(n?m)]?ex(n?m)?y(n?m)，所以是时不变系统。
2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）y(n)?x(n)?x(n?1) （2）y(n)?x(n?n0) （3）y(n)?ex(n) （4）y(n)?2.5
（1）该系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后（(n?1)时间）的输入有关。如果|x(n)|?M，则|y(n)|?|x(n)|?|x(n?1)|?2M，因此系统是稳定系统。
（2）当n0?0时，系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后的输入有关。当
n?n0k?n?n0?x(k)
n0?0时，系统是因果系统。如果|x(n)|?M，则|y(n)|?M，因此系统是稳定系统。
（3）系统是因果系统，因为n时刻的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|?M，则
|y(n)|?|ex(n)|?e|x(n)|?eM，因此系统是稳定系统。
（4）系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和x(n)的未来值有关。如果|x(n)|?M，
n?n0则，|y(n)|?k?n?n0?|x(k)|?|2n0?1|M因此系统是稳定系统。
2.6 以下序列是系统的单位冲激响应h(n)，试说明该系统是否是因果、稳定的。 （1）h(n)?2u(n) （2）h(n)?2u(?n) （3）h(n)??(n?2) （4）h(n)?nn1u(n) 2n2.6 （1）当n?0时，h(n)?0，所以系统是因果的。
由于
n????|h(n)|?2?0?21?22????
所以系统不稳定。
（2）当n?0时，h(n)?0，所以系统是非因果的。
由于
n????|h(n)|?2?0?2?1?2?2???2
所以系统稳定。
（3）当n?0时，h(n)?0，所以系统是非因果的。
由于
n????|h(n)|?1
?所以系统稳定。
（4）当n?0时，h(n)?0，所以系统是因果的。
由于
n????|h(n)|??111?????? 021222所以系统不稳定。
2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题2.7图所示，试求输出
y(n)。
2.7
y(n)?h(n)?x(n)?[2?(n)??(n?1)?0.5?(n?2)]?x(n)
?2x(n)?x(n?1)?0.5x(n?2)??2?(n?2)??(n?1)?0.5?(n)?2?(n?1)??(n?2)?4.5?(n?3)?2?(n?4)??(n?5)2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。
（1）h(n)?R3(n)，x(n)?R3(n)
（2）h(n)?R4(n)，x(n)??(n)??(n?2) （3）h(n)?0.5u(n)，x(n)?R5(n) 2.8
n（1）y(n)?x(n)?h(n)?R3(n)?R3(n)
?[?(n)??(n?1)??(n?2)]?R3(n)?R3(n)?R3(n?1)?R3(n?2)?[?(n)??(n?1)??(n?2)]?[?(n?1)??(n?2)??(n?3)]?[?(n?2)??(n?3)??(n?4)]??(n)?2?(n?1)?3?(n?2)?2?(n?3)??(n?4)（2）y(n)?x(n)?h(n)?[?(n)??(n?2)]?R4(n)
?R4(n)?R4(n?2)?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]?[?(n?2)??(n?3)??(n?4)??(n?5)]??(n)??(n?1)??(n?4)??(n?5)（3）y(n)?x(n)?h(n)?0.5nu(n)?R5(n)
?0.5nu(n)?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)??(n?4)]?0.5u(n)?0.5nn?1u(n?1)?0.5n?2u(n?2)?0.5n?3u(n?3)?0.5n?4u(n?4)
2.9 确定下列信号的最低采样率与奈奎斯特采样间隔。 （1）Sa(100t) （2）Sa(100t)
（3）Sa(100t)?Sa(50t)
2.9 若要确定奈奎斯特采样间隔，必须先求出信号频谱的最高频率。
（1）抽样函数对应于门函数：G?(t)?E?Sa(??/2)，其中?为门函数的宽度。 由傅立叶变换的对称性知：
2E?Sa(t?/2)?2?G?(?)
由题可知，??200。因此，此信号的最高频率是100弧度/秒。 因此，2?fs?100?2 即，fs?100?，Ts??100
（2）信号为两个抽样函数的乘积，因此频谱应为两个抽样函数频谱的卷积。由卷积积分的结果来确定信号频谱的范围。
通过上一题目可知，Sa(100t)信号的最高频率为100弧度/秒，因此相卷积后的最高频率是200弧度/秒。
fs?200?，Ts??200
（3）由傅立叶变换的线性，总信号的频谱为两个信号频谱的叠加，然后确定最高频率。
fs?100?，Ts??100
2.10 设系统由下面差分方程描述：
y(n)?11y(n?1)?x(n)?x(n?1) 22设系统是因果的，
（1）求该系统的单位脉冲响应。
（2）利用卷积和求输入x(n)?ej?nu(n)的响应。 2.10 （1）x(n)=δ(n),因为y(n)=h(n)=0,n<0 所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1 h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1 h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5
......h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1 所以 h(n)= 0.5n-1u(n-1)+δ(n)
（2）y(n)=x(n)*h(n)= [0.5n-1u(n-1)+δ(n)]* ejwnu(n)
= [0.5n-1u(n-1)]* ejwnu(n)+ ejwnu(n)= [ejwn-0.5n]/ (ejw-0.5)u(n-1)+ ejwnu(n)
2.11有一理想抽样系统，抽样频率为?s?6?，经理想低通滤波器Ha(j?)还原，其中
?1?,Ha(j?)??2??0,|?|?3?|?|?3?
今有两个输入，xa1(t)?cos2?t，xa2(t)?cos5?t。输出信号ya1(t)、ya2(t)有无失真？为什么？
2.11 根据奈奎斯特定理：
6?，所以ya1(t)无失真。 26?因为xa2(t)?cos5?t，而频谱中最高角频率?a2?5??，所以ya2(t)失真。
2?2.12 有一连续信号xa(t)?cos(2?ft??)，式中f?20Hz，??
2因为xa1(t)?cos2?t，而频谱中最高角频率?a1?2??(1) 求出xa(t)的周期；
?a(t)的表达式。 (2) 用采样间隔T?0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号x2.12 （1）Ta?1?0.05s f