圆锥曲线经典例题及总结
1.圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
x2y2y2x2（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0），焦点在y轴上时2?2＝1（a?b?0）。
abab方程Ax?By?C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
22x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：2?2 =1，焦点在y轴上：2?2＝1（a?0,b?0）。方程
abab。 Ax2?By2?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）
（3）抛物线：开口向右时y?2px(p?0)，开口向左时y??2px(p?0)，开口向上时
22x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x,y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a最大，a?b?c，在双曲线中，c最大，c?a?b。
2222222222
4.圆锥曲线的几何性质：
x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两
ab个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，
ca2其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，椭圆?0?e?1，
ace越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
x2y2?2?1（a?0,b?0）为例）（2）双曲线（以：①范围：x??a或x?a,y?R；②焦点：2ab两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
ca2x?y?k,k?0；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，双曲线?e?1，等轴双曲线ac22?e?2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y??2bx。 ap,0)，其中p2（3）抛物线（以y?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x??cp； ⑤离心率：e?，抛物线?e?1。
a222x0y0x2y25、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1；
abab2222x0y0x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1
abab
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：??0?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有??0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故??0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切；
（3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离。
提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线
x2y2与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2?2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个
ab公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： S?btan2?2?c|y0|，
当|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲线S?b2tan?2。 如 （1）短轴长为5，
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
9、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1?k2x1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝1?21y1?y2，若弦AB所在直线2k方程设为x?ky?b，则AB＝1?ky1?y2。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计
算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
抛物线：
b2x0x2y2在双曲线2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；在抛物线
abay0y2?2px(p?0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=
p。 y0提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验??0！
11．了解下列结论
2222（1）双曲线x?y?1的渐近线方程为x?y?0；
a2b2a2b22222byyxx（2）以y??x为渐近线（即与双曲线?2?1共渐近线）的双曲线方程为2?2??(?为2aabab参数，?≠0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx?ny?1；
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