线性代数解题的八种思维定势
第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。
?10?01*例1（2000年）设矩阵A的伴随矩阵A???10??0?3其中E是4阶单位矩阵，求矩阵B．
00?00??，且ABA?1?BA?1?3E，10??08?分析 本题相当于解矩阵方程．若先从A*求出A?1及A，再代入已知关系式求B，则计算量会相当大．考虑到题设与A*有关，若先用AA?AA?AE化简，则方便得多．
解 由ABA?1**?BA?1?3E先右乘A，得AB?B?3A，
*****再左乘A*，并利用AA?AE，得AAB?AB?3AA，即 AB?AB?3AE|． 再
由A?A*4?1?A，得 A?8，即 A?2．
**33B?6E． 故 于是有2B?AB?6E， (2E?A)
?1?0*?1B?6(2E?A)??6??1??001030??00??10?0??60?1?6?0???6??0**06030??00?. ?60?0??10*评注 题设与A有关时，一般均可考虑利用AA?AA?AE及其相关公式，结论先
化简、再计算．
第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
第三句话：若题设n阶方阵A满足 f (A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。
例3已知A,B为3阶方阵满足2AB?B?4E，（1）证明A?2E可逆，并求
?1?1?20???(A?2E)?1；（2）若B?120，求矩阵A． ????002???1?1 解：（1）由于2AB?B?4E，所以 B?2AB?4E，即
?1?1 A?AB?2AB?4E
于是 (A?2E)?1?1， AB?E41?1?AB． 4 （2）由于2A?1B?B?4E，所以 2B?AB?4A?A?(B?4，E)
?1 于是 A?2B?(B?4E)
?11??0?44???3?20???13??，有(B?4E)?1???? 0?0 又由于 B?4E?1?2???8?8??0?2???0?1?00???2??? 故 A?2E可逆 且 (A?2E)?1?20??0??．
0于是 A??1?1????0?2?0?第四句话：若要证明一组向量?1,?2,?,?s线性无关，先考虑用定义再说。
例4 设 n (n?4)阶矩阵的4个不同特征值为?1, ?2, ?3, ?4 ， 其对应的特征向量依次为?1, ?2, ?3, ?4，记???1??2??3??4， 求证：?, A?, A?, A? 线性无关．
解法1
23????1??2??3??4?A?????????????11223344? ?22222A?????????????11223344??A3???3???3???3???3?11223344??1?1?1?2?[?,A?,A2?,A3?]?[?1,?2,?3,?4]??1?3???1?4??i互不相等,?范德蒙行列式不等于0,?范德蒙矩阵可逆，从而
?12?22?32?42?13???23? 3??33??4??r[?, A?, A2?, A3?]?r[?1?2?3?4]．
??1,?2,?3,?4无关，?r(?1,?2,?3,?4)?4，?r[?, A?, A2?, A3?]?4，故
?, A?, A2?, A3?的秩为4，故线性无关．
解法2设存在一组数k1,k2,k3,k4使
k1??k1???k3A2??k4A3??0 （1）
由题设???1??2??3??4，利用特征向量的性质可得
A???1?1??2?2??3?3??4?4,A2???12?1??22?2??33?3??42?4, （2）
3A3???13?1??2?2??33?3??44?4.将（2）式一并代入（1）式可有
k1(?1??2??3??4)?k2(?1?1??2?2??3?3??4?4)?k3(?12?1??22?2??33?3??42?4)?k4(?13?1??23?2??33?3??44?4)?0整理得
(k1??1k2??12k3??13k4)?1?(k1??2k2??22k3??23k4)?2?(k1??3k2??k??k)?3?(k1??4k2??k??k)?4?0.因?1,?2??3??4分属不同的特征值，故线性无关，从而有
233334243344
?k1??1k2??22k3??13k4?0,?23?k1??2k2??2k3??2k4?0, ?23?k1??3k2??3k3??3k4?0,?k??k??2k??3k?0.4344?142视k1,k2,k3,k4为未知数，此为4个未知量，4个方程组成的齐次线性方程组，其系数行式为范德蒙德行列D(?1,?2,?3,?4)的转置． 因?1,?2,?3,?4互异，所以
D?D(?1,?2,?3,?4)?0． 这表明只有零解，即k1?k2?k3?k4=0，从而
?,A?,A2?,A3?线性无关．
第五句话：若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
?123???例5 已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c)，其中a,b,c不全为零，矩阵B?246，????36k??（k为常数），且AB?0，求线性方程组Ax?0的通解．
解：由AB?0知，r(A)?r(B)?3，又A?0,B?0,则
1?r(A)?2,1?r(B)?2．
(1) 若r(A)?2，则必有r(B)?1，此时k?9， 方程组的通解为t(1,2,3)，（t为任意常数）．
(2) 若r(A)?1，则k?9，线性方程组Ax?0可化为ax1?bx2?cx3?0，且满足
T?a?2b?3c?0,?a?2b?3c?0,? ???3a?6b?kc?0.?(k?9)c?0.若c?0，方程组的通解为t1(c,0,?a)?t2(0,c,?b)，（t1,t2为任意常数）， 若c?0，方程组的通解为t1(1,2,0)?t2(0,0,1)，（t1,t2为任意常数）． 注：也可直接对k?9和k?9进行讨论．
第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。
例6 已知向量组α1?(1,2,?1,1),α2?(2,0,t,0),α3?(0,?4,5,?2)线性相关，求t的值．
TTTTTTT?1?2 解：(α1,α2,α3)????1??10??120??0?4?4?0?4?????
t5??0t?25????0?2??0?2?2?0??1?01????5??0??0??00?11??， 03?t??00?222?1?01? ??0t?2?0?0所以 t?3．
第七句话：若已知A的特征向量?0，则先用定义A?0=λ0?0处理一下再说。
例7 已知二维非零向量X不是2阶方阵A的特征向量， (Ⅰ) 证明X,AX线性无关；
（Ⅱ）若X,AX满足AX?AX?6X?0，求A的全部特征值和特征向量，并由此判断A能否与对角矩阵相似，若能请写出该对角矩阵。
解 (Ⅰ) 设k1X?k2AX?0，则必有k2?0，否则AX??2k1X，从而X是A的属于k2特征值?k1的特征向量，与题设矛盾。由此有k1X?0，因为X?0，故k1?0，说明k2X,AX线性无关；
（Ⅱ）由0=AX?AX?6X?(A?3E)(A?2E)X，得
2A(A?2E)X??3(A?2E)X，
因为X,AX线性无关，所以(A?2E)X?0，即?3是A的特征值，A的属于特征值?3的特征向量为c1(A?2E)X，其中c1为任意非零数，同理，2是A的特征值，A的属于特征值2的特征向量为c2(A?3E)X，其中c2为任意非零数。
由于A有两个相异特征值，从而有两个线性无关的特征向量，因此A可对角化，且A
与对角矩阵???30?相似。 ??02?评注 本题综合考查了向量组的线性相关、矩阵分解、特征值和特征向量的概念与性质，矩阵相似对角化的判定等知识点．
第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 例8 设A为正定阵，则A?A?3A仍为正定阵．
证：因为A是正定阵，故A为实对称阵，且A的特征值全大于零，易见A,A,A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故A,A,A全是正定矩阵，A?A?3A为实对称阵． 对?X?0，有
2*?12*?12*?12*?1XT(A2?A*?3A?1)X?XTA2X?XTA*X?XTA?1X?0
即 A?A?3A的正定矩阵．
2*?1