专题4.6 正余弦定理
【考纲解读】
要 求 内 容 A B C 解三角形 正弦定理、余弦定理及 其应用 √ 度量问题． 【直击考点】
题组一 常识题
1．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝2，则最短边的边长等于________．
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形备注
2． 在△ABC中，已知a＝5，b＝23，C＝30°，则c＝________．
【解析】由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝5＋(23)－2×5×23cos 30°＝7， 所以c＝7.
3．在△ABC中，a－c＋b＝2ab，则C＝__________.
2
2
22
2
2
2
2
a2＋b2－c22
【解析】因为cos C＝＝，所以C＝45°.
2ab2
题组二 常错题
4．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系是________．
【解析】由正弦定理，有sin A＝，sin B＝，所以若sin A>sin B，则>，即a>b，故A>B.
2R2R2R2R5．在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝______________________.
abab【解析】由正弦定理，有为锐角，故B＝45°.
asin Asin B＝b，则sin B＝
bsin A＝a42×43
32
＝2
.又a>b，所以A>B，所以B2
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a－b＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝__________
22
b2＋c2－a2－3bc＋c2【解析】∵sin C＝23sin B，由正弦定理得c＝23b，∴cos A＝＝＝2bc2bc 1
－3bc＋23bc3
＝.又A为三角形的内角，∴A＝30°.
2bc2题组三 常考题
π1
7．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝________．
44
8． 已知钝角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a为最大边，23·cosA＋cos 2A＝0，a＝6，c＝5，则b＝__________．
【解析】由23cosA＋cos 2A＝0得25cosA－1＝0，又△ABC是钝角三角形，且a为最大边，所以cos A1?1?222222
＝－.由a＝b＋c－2bccos A，即6＝b＋5－2b×5×?－?，解得b＝23－1(负值舍去)．
5?5?
【知识清单】
考点1 正弦定理 正弦定理：
＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
sin Asin Bsin C2
2
2
abca∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝，s in B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
2R2R2R111
面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B 222考点2 余弦定理
余弦定理：a?b?c?2abcosC ， b?c?a?2accosA ， c?a?b?2accosB.
222222222abcb2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2
变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝
2bc2ac2ab考点3 正弦定理与余弦定理的综合运用
2
【考点深度剖析】
综合近年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点，经常稳定在解答题中出现，中等难度，故这部分知识应引起充分的重视．
【重点难点突破】
考点1 正弦定理
【1-1】在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b＝2，
B＝30°，C＝15°，则a等于 .
【答案】22
【1-2】在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a?1，
b?3，则S?ABC? .
3
【答案】
3 2
【思想方法】
已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
A为锐角 A为钝角或直角 图形 bsin A＜aa＝bsin A ＜b 一解 两解 ? a≥b 一解 ? a＞b 一解 关系式 解的个数 a＜bsin A 无解 a≤b 无解 【温馨提醒】用正弦定理求出某一个角的正弦值后，在0到180之间对应的角有两个，特别注意验证这两个是否满足条件. 考点2 余弦定理
【2-1】已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是 . 【答案】120°
【解析】∵在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，∴a∶b∶c＝1∶1∶3， 设a＝b＝k，c＝3k(k>0)，最大边为c，其所对的角C为最大角，
k2＋k2－?3k?21
则cos C＝＝－，∴C＝120°.
2×k×k2
4
【2-2】已知△ABC的一个内角是120°，三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积是 . 【答案】153
【思想方法】
已知三边如(a、b、c），由余弦定理任一角.
已知两边和夹角如(a、b、C），由余弦定理求出对对边．
【温馨提醒】等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．． 考点3 正弦定理与余弦定理的综合运用
【3-1】在?ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB?为 . 【答案】4.
【解析】如图，因为?ADC与?ADB互补，所以当cos?ADC??101，cos?ADC??，则边AC长8411时，cos?ADB?， 44则sin?ADB?1?()2?14103615，又cosB?，则sinB?， 488所以sin?BAD?sin(???B??ADB)?sin(?B??ADB)
?sinBcos?ADB?cosBsin?ADB?在三角形BAD中，由正弦定理有：
36110156， ????84844BD3?，
sin?BADsinB2从而BD?2，所以CD?2，在三角形ADC中，由余弦定理有：AC?9?4?2?3?2?(?)?16，
14 5
所以AC?4.
【3-2】设?ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若b?c?2a,3sinA5?sin【答案】
B,则角C= .
2? 3
【思想方法】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
【温馨提醒】正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．
【易错试题常警惕】
(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角
时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论。
(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。
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