3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
1、平均变化率：设x1，x2是函数y?f?x?定义域内两个不同的数，把式子
f?x2??f?x1?x2?x1称为函数y?f?x?从x1到x2的平均变化率。习惯上用?x表示x2?x1，也可把?x看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1??x代替x2；类似地，?y?f?x2??f?x1?.于是，平均
?y ?x 3.1.2 导数的概念
变化率可以表示为2、瞬时速度
把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。一般地，函数y?f?x?在x?x0处的瞬时变化率是
f?x0??x??f?x0??y?，我们称它为函数y?f?x?在x?x0处的导数，limlim?x?x?0?x?x?0，即f'?x0??记作f'?x0?或y'x?x0f?x0??x??f?x0??y? limlim?x?x?x?0?x?0f?x0??x??f?x0??k，
?x 3.1.3 导数的几何意义
3、切线方程：求函数在点x0,f?x0?处的导数f'?x0??得到曲线在点Px0,f?x0?处的切线的斜率。 3.2
??lim?x?0?? 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
4.基本初等函数的导数公式
a*a?1（1）若f?x??c，则f'?x??0；（2）若f?x??xa?Q，则f'?x??ax；
??（3）若f?x??sinx，则f'?x??cosx；（4）若f?x??cosx，则f'?x???sinx； （5）若f?x??a，则f'?x??alna?a?0?；（6）若f?x??e，则f'?x??e；
xxxx1（a?0，且a?1）； xlna111（8）若f?x??lnx，则f'?x??；（9）若f?x??，则f'?x???2.
xxx（7）若f?x??logax，则f'?x??6、导数的运算法则
（10）??f?x??g?x???'?f'?x??g'?x?；
（11）??f?x??g?x???'?f'?x?g?x??f?x?g'?x?；
?f?x??f'?x?g?x??f?x?g'?x?'?（12）??g?x??0?； ?2gx??????g?x???（13）??cf?x???'?c'f?x??c??f?x???'?cf'?x?. 推导：
（14）??f?x??g?x??h?x???'?f'?x?g?x?h?x??f?x?g'?x?h?x??f?x?g?x?h'?x? （15）??f?x??g?x??h?x???'?f'?x??g'?x??h'?x?
3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
1、函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间?a,b?内，如果f'?x??0，那么函数
y?f?x?在这个区间内单调递增；如果f'?x??0，那么函数y?f?x?在这个区间内单调
递减。若f?x?在?a,b?单调递增，则f'?x??0在?a,b?恒成立。 注意：①原函数看增减，导函数看正负；②f'?x?越大，y?f?x?越大。 2、求单调区间的一般步骤：①确定函数f?x?的定义域；②求导函数f'?x?； ③在定义域内解不等式f'?x??0与f'?x??0；④决定函数的单调期间。
3.3.2 函数的极值与导数
3、函数的极大值：如果对x0附近的所有点都有f?x??f?x0?，就说f?x0?是函数
y?f?x?的一个极大值，记作y极大值=f?x0?，x0是极大值点。
4、函数的极小值：如果对x0附近的所有点都有f?x??f?x0?，就说f?x0?是函数
y?f?x?的一个极小值，记作y极小值=f?x0?，x0是极小值点。
5、极值：极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。
6、函数极值的判断方法
（1）设函数f?x?在点x0x0处可导，且在x0处取得极值，则f'?x0??0 （2）设函数f?x?且f'?x0??0，
①如果在x0附近左侧f'?x??0，右侧f'?x??0，那么f?x?在x0处取得极大值；
②如果在x0附近左侧f'?x??0，右侧f'?x??0，那么f?x?在x0处取得极小值； ③如果在f'?x?在x0左右两侧的符号不变，那么f?x?在x0处不取得极值。 7、求函数极值的步骤
①确定函数的定义域；②求导函数f'?x?；③求函数f'?x??0的根，列出可能极值点； ④列表；⑤确定极值
3.3.3 函数的最大（小）值得导数
8、函数的最大值：如果在函数f?x?的定义域内存在x0，总有f?x??f?x0?，那么f?x0?为函数在定义域上的最大值；
9、函数的最小值：如果在函数f?x?的定义域内存在x0，总有f?x??f?x0?，那么f?x0?为函数在定义域上的最小值。 10、判断极值的步骤
一般地，求函数y?f?x?在?a,b?上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数y?f?x?在?a,b?内的极值；
（2）将函数y?f?x?的各极值与端点处的函数值f?a?，f?b?比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
注：①若f?x?在闭区间?a,b?上连续，则f?x?在?a,b?上必有最值； ②若f?x?在?a,b?内仅有一个极值，则极值必为最值。
高中数学必修5知识点
第一章、数列
一、基本概念
1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．
无穷数列：项数无限的数列．
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．an?1?an?0 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．an?1?an?0 常数列：各项相等的数列．
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的
数列．
4、数列的通项公式：表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式．
5、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系的公式．
二、等差数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个
常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示：an?an?1?d(n?2)或an?1?an?d(n?1)
2、通项公式：若等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则an?a1??n?1?d． 通项公式的变形：①an?am??n?m?d；②d?通项公式特点：anan?am．
n?m?dn?(a1?d)
an?kn?m，（k,m为常数)是数列?an?成等差数列的充要条件。
3、等差中项
若三个数a，?，b组成等差数列，则?称为a与b的等差中项．若b?a?c，则称2b为a与c的等差中项．即a、b、c成等差数列???b?4、等差数列?an?的基本性质(其中m,n,p,q?N?) （1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq。 （2）an?am?(n?m)d （3）2an?an?m?an?m 5、等差数列的前n项和的公式 公式：①Sn?a?c 2n?a1?an?n?n?1?d． ；②Sn?na1?22d2dn?(a1?)n是一个关于n且没有常数项的二次函数形式 22公式特征：Sn?等差数列的前n项和的性质：
*①若项数为2nn??，则S2n?n?an?an?1?，且S偶?S奇?nd，
??S奇a?n． S偶an?1S奇n ?S偶n?1*②若项数为2n?1n??，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，
??（其中S奇?nan，S偶??n?1?an）． ③Sn，S2n?Sn，S3n?S2n成等差数列． 6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：an?1?an?d(常数）（n?N?）??an?是等差数列 ②中项法：2an?1?an?an?2③通项公式法：an?kn?b（n?N?)??an?是等差数列 (k,b为常数)??an?是等差数列
④前n项和公式法：Sn?An2?Bn(A,B为常数)??an?是等差数列
三、等比数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个
常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． （2）符号表示：
2、通项公式
（1）、若等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则an?a1qn?1． （2）、通项公式的变形：①an?amqn?m；②qn?man?1 ?（常数）qan?an． am3、等比中项：在a与b中插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若G?ab，则称G为a与b的等比中项．注意：a与b的等比中项可能是?G。 4、等比数列性质
若?an?是等比数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??*），则am?an?ap?aq；
2若?an?是等比数列，且2n?p?q（n、p、q??*），则an?ap?aq．
25、等比数列?an?的前n项和的公式：
?na1?q?1??（1）公式：Sn??a1?1?qn?a?aq．
1n??q?1??1?q1?q?（2）公式特点：
sn?a11?qn??k(1?qn)?A?Aqn ?1?q*（3）等比数列的前n项和的性质：①若项数为2nn??，则
??S偶S奇?q．
②Sn?m?Sn?qn?Sm．③Sn，S2n?Sn，S3n?S2n成等比数列（Sn?0）．
6、等比数列判定方法： ①定义法：
an?1?q（常数）??an?为等比数列； an2②中项法：an?1?an?an?2(an?0)??an?为等比数列；