一道二元函数最值问题的巧解及解法推广
陈大连
江苏省东海县白塔高级中学，222345
题目 若x,y都是正数，且满足x?y?3，则2x2?y2?281?的最小值为 . xy这是一道2017年第17届中环杯九年级数学竞赛决赛的模拟试题，条件为一不等式，目标函数颇具有代表性，设计新颖，值得探究.
一、巧解呈现[1]
巧解一 由于x2?4x?4,y2?2y?1，结合基本不等式及条件x?y?3，得
2x2?y2?281281281??2(4x?4)?(2y?1)???8x?2y???9xyxyxy28128141??9?(7x?y)?3???9?7(x?)?(y?)?6 xyxyxy?(7x?y)?(x?y)??7?2x?41?2y??6?28?2?6?24. xy41,y?及x?0,y?0即x?2,y?1时，xyx?y?3，x?当且仅当x2?4x?4,y2?2y?1，
上述各等号成立，所以函数的最小值为24.
巧解二 由于x2?4x?4,y2?2y?1，
281?28?7x,?2?y，结合条件x?y?3，得 xy2x2?y2?281??2(4x?4)?(2y?1)?(28?7x)?(2?y)?x?y?21?3?21?24. xy二、巧解分析及解法推广
巧解一运用降次思想，将x2,y2分别放缩为4x?4，2y?1，并运用基本不等式求得结果；巧解二干脆将目标函数中的各项全部放缩，最终恰好得到x?y的式子，运用条件后求得结果.这两种解法都是先将目标函数中的项进行放缩，抓住了解题的关键，但看完两种解法，我们不禁要问：这两种解法是如何想到放缩的不等式x2?4x?4,y2?2y?1及
281?28?7x,?2?y呢？ xy可以发现，这些不等式中的等号都是在x?2,y?1时取到的，而解题过程中在其它处的放缩也是依据等号在x?2,y?1时取到的思想指导下进行的，解题者或许已先猜到整个函数的最小值就是在x?2,y?1时取到的，然后再设计解题过程，目标性很强.那么，解题者又是
如何知道x?2,y?1时函数取最小值的呢？猜虽是一种快捷的方法，但有时不易猜准且带有冒险性，我们还应探讨这种问题的一般解法，把握解法的本质特性，以使今后解题更具有灵活性.
巧解一的推广：设函数是在x?m,y?n（m?0,n?0）时取到最小值的，则我们不妨对目标函数作如下的放缩：
2x2?y2?281281??2(x?m)2?(y?n)2?4mx?2m2?2ny?n2??xyxy?4mx?281282811281?2ny??2m2?n2?(2x?)?(2y?)?(4m?2)x?(2n?2)y?2m2?n2xymxnymn?2282811281x??2y??(4m?)x?(2n?)y?2m2?n22222mxnymn2?282281??(4m?2)x?(2n?2)y?2m2?n2. mnmn2812?2821令4m?2?2n?2?0（1），则上式???(2n?2)(x?y)?2m2?n2
mnmnn2?2821???(2n?2)?3?2m2?n2.
mnn?281??4m?2?2n?2上式等号当且仅当m?n?3及（1）式成立.解方程组?mn得m?2,n?1.
??m?n?3所以函数的最小值为
2?28212?2821??(2n?2)?3?2m2?n2???(2?2)?3 mnn211?2?22?12?24.
上解法中按程序求出函数的最值点x?2,y?1，可操作性强，具有一定通性.如将命题者精心挑选的数值28改为50，
19的分子改为，条件x?y?3改为x?y?4，即若x,y都y4509?的最小值，想猜出结果就很困难了，但我x4y是正数，且满足x?y?4，求2x2?y2?们可以用通法来解，其结果为x?,y?523145时函数取最小值，最小值为. 24509?的x4y2x2?y2?巧解二的推广：巧解二的四个不等式是怎么想到的呢？可以发现，
各项可视为四个函数，它们都是下凸的，图象呈?型，若过其上某点作切线，则除切点外
切线上的所有点都在函数图象的下方，这种图象与切线的位置关系反映在函数关系上便是巧解二开始所出现的四个不等式.
一般地，设函数是在x?m,y?n（m?0,n?0）时取到最小值的，则(2x2)?x?m?(4x)x?m
?4m，这便是曲线y?2x2在点(m,2m2)处切线的斜率，在坐标系x?o?y中切线方程为
y?4m(x?m)?2m2，即y?4mx?2m2，从而有2x2?4mx?2m2.
同理，(y2)?y?n?(2y)y?n?2n，在坐标系y?o?s中曲线s?y2在点(n,n2)处的切线
方程为s?2n(y?n)?n2，即s?2ny?n2，从而有y2?2ny?n2.
对于另两项
128282828及，我们同样利用切线法可得即??2(x?m)?yxmmx111122828561??2x?，??2(y?n)?即??2y?.
ynnynnxmm?2x2?y2?281285612??(4mx?2m2)?(2ny?n2)?(?2x?)?(?2y?) xymmnn?(4m?28156222)x?(2n?)y?(?2m?n??)，这个结果与前面的完全一致，余下略. 22mnmn三、巧解二的再推广
巧解二根据目标函数中各项均为下凸函数的特点，用切线法构造四个局部不等式求出函数的最小值.其实我们可以将目标函数视为两项，写成(2x2?281)?(y2?)，可以发现xy2x2?128及y2?在(0,??)内也均为下凸函数，可以求得它们在分别在x?2及y?1时的
yx128128?x?20，y2??y?1，所以(2x2?)?(y2?)
yxyx导数均为1，由切线法得2x2??(x?20)?(y?1)?x?y?21?24.
如果我们没有猜出函数是在何时取最小值的，那么，设函数是在x?m,y?n（m?0,n?0）时取到最小值的，则可用切线法得2x2?，y2?282828?(4m?2)(x?m)?2m2? xmm111281?(2n?2)(y?n)?n2?，于是(2x2?)?(y2?) ynnxy28281122)(x?m)?2m??(2n?)(y?n)?n?m2mn2n281282811?(4m?2)x?(2n?2)y?(4m?2)(?m)?2m2??(2n?2)(?n)?n2?mnmmnn281562?(4m?2)x?(2n?2)y?(?2m2?n2??)，这与前面的结果相同，余下略.
mnmn一般地，若x,y都是正数，且满足x?y?k，其中k正常数，求f(x)?g(y)的最小值，当f(x)与g(y)均为下凸函数时，可以考虑切线法.若猜不出函数是在何时取最小值，则可再?(4m?用待定系数法.
参考文献
[1] wayo94 . 一道不等式最值题的另解.
http://blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102wtt2.html, 2016-11-14.