第21卷第5期湖北三峡学院学报Vol.21 No.5
1999年10月JOURNALOFHUBEITHREEGORGESUNIVERSITYOct.1999
唯一分解环上的一元多项式环的因子分解
王高峡
(湖北三峡学院理工学院数学系 宜昌 443000)
摘 要 本文提供了一个求唯一分解环I上的多项式的落在I的商域中的全部根的方法并得到了一个判别商域上的多项式不可约的充分条件.
关键词 唯一分解环; 商域; 素元; 整除中国图书分类号 O153.3
多项式环的因子分解在代数里占一个特别重要的地位.在这篇文章里,我们提供了一个求唯一分解环I上的一元多项式f(x)的所有属于I的商域Q的根的方法.并给出了I[x]的一个多项式在Q[x]里不可约的一个判别法.
下面我们总是假设I是唯一分解环,Q是I的一个商域.
引理1[1] 一个唯一分解环有以下性质:
(1)若一个素元p能够整除ab,那么p能够整除a或b.(2)n个元a1,a2,…,an在此唯一分解环里有最大公因子.
定义 I[x]的一个元f(x)叫做一个本原多项式,假如f(x)的系数的最大公因子是单位.引理2 假定f(x)=g(x)·h(x),那么f(x)是本原多项式,当且仅当g(x)和h(x)都是本原多项式的时候.
b引理3[1] Q[x]的每一个不等于零的多项式f(x)都可以写成f(x)=f0(x)的样子,
a
这里a,b∈I,f0(x)是I[x]的本原多项式.若是g0(x)也有f0(x)的性质,那么
g0(x)=εf0(x) (ε是I的单位)
引理4[1] 如果I[x]的一个非零多项式f(x)在Q[x]里能够分解成两个次数较低的多项式的乘积,那么它一定能在I[x]里分解成两个次数较低的多项式的乘积.
证设f(x)=g(x)·h(x),其中g(x),h(x)∈Q[x],且 (g(x))< (f(x)), (h(x))< (f(x)).
令 f(x)=af1(x)
s1s2
由引理3可设g(x)=g1(x), h(x)=h1(x),这里f1(x),g1(x),h1(x)都是I[x]的
r1r2
本原多项式,a,r1,r2,s1,s2∈I
s1s2
于是 f(x)=af1(x)=rrg1(x)h1(x)
12
由引理2和引理3知 f1(x)=εg1(x)h1(x) (ε是I的单位)这样, f(x)=(aεg1(x))h1(x)这里 aεg1(x),h1(x)∈I[x]且次数都低于f(x)的次数.
收稿日期:1999-01-04[1]
第5期 王高峡:唯一分解环上的一元多项式环的因子分解 13
由引理4的证明容易得出如下推论.
推论 设f(x),g(x)∈I[x]且g(x)是本原多项式.如果f(x)=g(x)h(x),其中h(x)∈Q[x],那么h(x)∈I[x].
这个推论提供了一个求I[x]的多项式的所有属于Q的根的方法.
定理1 设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0∈I[x],而在I中互素,那么必有s an,r a0.
证 因为r∈Q是f(x)的一个根,因此在Q[x]里,(x-r) f(x),从而(sx-r) f(x).
ss
因为s,r互素,所以sx-r是I[x]的一个本原多项式,由上述推论
f(x)=(sx-r)(bn-1xn-1+…+b0)
其中bn-1,…,b0∈I,比较两边的系数即得an=sbn-1,a0=-rb0因此 s an,r a0
定理2 设f(x)=a2n+1x+…+a0∈I[x],如果有一个素元p使得(1)p ak k=2n,2n-1,…,n+1(2)p2 ak k=n,n-1,…,0(3)p3 a0,p a2n+1
那么f(x)在Q[x]里是不可约的.
证 如果f(x)在Q[x]里可约,那么由引理4,f(x)可以分解成I[x]的两个次数较低的多项式的乘积
f(x)=(blxl+…+b0)(cmxm+…+c0)
(l,m<2n+1,l+m=2n+1)
因此a2n+1=blcm,a0=b0c0,因为p2 a0,由于I是唯一分解环,由引理1知p能整除b0或c0,但p a2n+1,所以p不能同时整除所有的bi(i=1,…,l),因此不妨假定p bi(i=1,…,s-1)但p bs,0 ak=bkc0+bk-1c1+…+b0ck (2)(1) 2n+1 r∈Q是它的一个根,其中r,ss 中除bsc0一项外,各项都能被p整除,故bsc0也必须能被p整除,但p是一个素元且p bs,所以c0被p整除. 同理,对as+1=bs+1c0+bsc1+…+b0cs+1的讨论给出p bsc1进而p c1.依此继续得p c2,…,p c2n-s.但p c2n-s+1(对应于p a2n与p a2n+1). 分两种情形讨论如下: 情形Ⅰ:s≤n,此时等式(2)的各项除bsc0一项外全被p整除,故有p bsc0,进而p c0,于是p b0c0=a0与题设矛盾. 情形Ⅱ:s>n,t=2n-s+1≤n.等式at=ctb0+ct-1b1+…+c0bt的各项除ctb0一项外全被p整除,故有p ctb0,进而p b0,也与p a0的假设矛盾.所以,无论哪种情形,f(x)都不能有形如(1)的分解式,因此f(x)在Q上不可约. 例 设I={a+b2 a,b为整数},由文[3]知I是一个欧氏环,从而是一个唯一分解环,I的商域Q={m+n2 m,n为有理数},5是I的一个素元,根据定理2,可知对于任意的n,多项式x 2n+1 2 2 2 3 3 2 2 2 +25在Q[x]里是不可约的. 湖北三峡学院学报 第21卷14 参 考 文 献 1 张禾瑞.近世代数基础.北京:高教出版社,1978 2 北京大学力学系编.高等代数.北京:人民教育出版社,19783 厦门大学数学系编.抽象代数学题解,19804 高绪珏主编.近世代数.沈阳:辽宁人民出版社,1985 FactorizationinRingsofPolynomialsinOneIndeterminate OveraUniqueFactorizationDomain Wang Gaoxia (DepartmentofMathematics,ScienceandEngineeringCollege, HubeiThreeGorgesUniversity,Yichang,443000) Abstract Inthispaper,wegiveamethodofalltherootsinquotientfieldofapolynomicaloverauniquefactorizationdomainIandasufficientconditionofapolynoimicaloverthequotientfieldbeing irreducible. Keywords Uniquefactorizationdomain;Quotientfield;Primeelement;Divisibility (责任校对:王大年) (上接第6页) 参 考 文 献 1 Wu,P.-Y.Theoperatorsfactorizationproblems.LinearAlpebraAppl.,117(1988),35～63 2 Khalkhali·M,Laurie.C,Mathes.B,Radjavi·H.Approximationbyproductsofpositiveoperators.J.aperatortheory.29(1993),237～247 3 Π·A·ΠrocTePHuk‖B·‖·COσaΠeB.杨从仁译.泛涵分析概要.北京:科学出版社,1985.310,3114 夏道行.线性算子谱理论Ⅰ.北京:科学出版社,1983,14～16,10～12 SomeResultsonApproximationbyProductsofPositiveOperators YuanGuochang CuiPingchang (HubeiYichangForestryTechnicalSchool,Yichang,443100) SongKaifu (HongtuMiddleschool,Yichang,Hubei,443100) Abstract Inthispaper,someresultsonapproximationbyproductsofpositiveoperatorsarepr-voernforT=u T andA B,WegivethenecessaryandsufficientconditionforT∈P3andA B∈Pn,andpointouttheproptyofnormaloperatorT=u T ∈P2. Keywords Productsofpositiveoperators,Polardecomposition;Tensorproductsoperator (责任校对:王大年)