圆锥曲线终极总结 1.圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
x2y2y2x2（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0），焦点在y轴上时2?2＝1（a?b?0）。
abab方程Ax2?By2?C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。 x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：2?2 =1，焦点在y轴上：2?2＝1（a?0,b?0）。方程
abab。 Ax2?By2?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）
（3）抛物线：开口向右时y2?2px(p?0)，开口向左时y2??2px(p?0)，开口向上时
x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
22（1）椭圆：由x,y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a最大，a?b?c，在双曲线中，c最大，c?a?b。
4.圆锥曲线的几何性质：
22222222x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两
ab个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，ca2其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，椭圆?0?e?1，
ace越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
x2y2?2?1（a?0,b?0）为例）（2）双曲线（以：①范围：x??a或x?a,y?R；②焦点：2ab两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
2cax2?y2?k,k?0；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，双曲线?e?1，等轴双曲线acb?e?2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y??x。
ap2（3）抛物线（以y?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(,0)，其中p2的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；
cp； ⑤离心率：e?，抛物线?e?1。
a222x0y0x2y25、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1；
abab2222x0y0x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1
abab④准线：一条准线x??
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：??0?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有??0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故??0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切；
（3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离。
提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线
x2y2与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2?2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个
ab公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线
和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： S?btan当|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲线S?2?2?c|y0|，
b2tan?2。 如 （1）短轴长为5，
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
9、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1?k2x1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝1?21y1?y2，若弦AB所在直线2k方程设为x?ky?b，则AB＝1?ky1?y2。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计
算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
抛物线：
b2x0x2y2在双曲线2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；在抛物线
abay0py2?2px(p?0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=。
y0提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验??0！
11．了解下列结论
2222（1）双曲线x?y?1的渐近线方程为x?y?0；
a2b2a2b22222b（2）以y??x为渐近线（即与双曲线x?y?1共渐近线）的双曲线方程为x?y??(?为
aa2b2a2b2参数，?≠0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2?ny2?1；
2b2（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距
ab2离）为，抛物线的通径为2p，焦准距为p；
c（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线y?2px(p?0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB|?x1?x2?p；
2p2,y1y2??p2 ②x1x2?4（7）若OA、OB是过抛物线y?2px(p?0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点
2(2p,0)
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
??（1） 给出直线的方向向量u??1,k?或u??m,n?；
?（3）给出PM?PN?0,等于已知P是MN的中点;
（4）给出AP?AQ??BP?BQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;
??（5） 给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数?,使AB??AC；③若存在实数
?????????????,?,且????1,使OC??OA??OB,等于已知A,B,C三点共线.
（2）给出OA?OB与AB相交,等于已知OA?OB过AB的中点;
??（6） 给出MA?MB?0,等于已知MA?MB,即?AMB是直角,给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是钝角, 给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是锐角,
???MAMB?（8）给出?????MP,等于已知MP是?AMB的平分线/
?MAMB???（9）在平行四边形ABCD中，给出(AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是菱形;
????????????????（10） 在平行四边形ABCD中，给出|AB?AD|?|AB?AD|，等于已知ABCD是矩形;
（11）在?ABC中，给出OA?OB?OC，等于已知O是?ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在?ABC中，给出OA?OB?OC?0，等于已知O是?ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在?ABC中，给出OA?OB?OB?OC?OC?OA，等于已知O是?ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
222????????ABAC??????)(??R?)等于已知AP通过?ABC的内（14）在?ABC中，给出OP?OA??(???|AB||AC|心；
（15）在?ABC中，给出a?OA?b?OB?c?OC?0,等于已知O是?ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
????1????????AB?AC,等于已知AD是?ABC中BC边的中线; （16） 在?ABC中，给出AD?2????????2
（3）已知A,B为抛物线x=2py(p>0)上异于原点的两点，OA?OB?0，点C坐标为（0，2p）
???????????（2）若AM＝?BM（??R）且OM?AB?0试求点M的轨迹方程。
????????x12x22（1）证明：设A(x1,),B(x2,)，由OA?OB?0得
2p2p?????x12???x22?x12x12x222) x1x2??0,?x1x2??4p，又?AC?(?x1,2p?),AB?(x2?x1,2p2p2p2p????????x22?x12x12??x1??(2p?)?(x2?x1)?0，?AC//AB，即A,B,C三点共线。
2p2p?????????（2）由（1）知直线AB过定点C，又由OM?AB?0及AM＝?BM（??R）知OM?AB，垂
足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x?0，y?0)。
13.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PH?PF，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
AQHPFB（1）求证：A,B,C三点共线；
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，2）（2）（
1,1） 4x2?y2?1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右1、已知椭圆C1的方程为4顶点分别是C1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程；
(2) 若直线l：y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足OA?OB?6(其中O为原点)，求k的取值范围。
22xy解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为?，则a2?4?1?3,再由a2?b2?c2得b2?1. ?1a2b2x2x22?y?1.?y2?1得(1?4k2)x2?82kx?4?0. 故C2的方程为（II）将y?kx?2代入34由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
1?1?(82)2k2?16(1?4k2)?16(4k2?1)?0,即 k2?. ①
4x2将y?kx?2代入?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?0.由直线l与双曲线C2恒有两个不
32?1?1?3k?0,22即k?且k?1. 同的交点A，B得?2223???2?(?62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.62k?9设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA?xB?,x?x?AB1?3k21?3k2???????? 由OA?OB?6得xAxB?yAyB?6,而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxB?2)?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?2 ?(k?1)?2?962k?2k??2 221?3k1?3k3k2?7?2.3k?13k2?715k2?1313122k?或k?. ③ 于是2?6,即?0.解此不等式得
1533k?13k2?1由①、②、③得
1113?k2?或?k2?1. 4315