第一章：利息的基本概念
练 习 题 1．已知a?t??at2?b，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资
300元，在时刻8的积累值。
2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定i1,i3,i5。 (2)假设A?n??100??1.1?n，试确定 i1,i3,i5 。
3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 i1第3年的利率为 i3第2年的利率为i2?8%，?10%，
?6%，求该笔投资的原始金额。
5．确定10000元在第3年年末的积累值:
(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 6．设m＞1，按从大到小的次序排列 v7．如果?t2?bq2x?e2px?与δ
。
?0.01t，求10 000元在第12年年末的积累值。
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
9．基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度?t两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
10. 基金X中的投资以利息强度?t?t积累，在时刻t (t=0)，6?0.01t?0.1(0≤t≤20), 基金Y中的投资以年实际利率i积
累；现分别投资1元，则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y的积累值。
11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。
A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21
12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987
第二章：年金 练习题 1．证明vn?vm?i?am?an?。
2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共
付10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A。
3. 已知a7?5.153 , a11?7.036, a18?9.180, 计算 i。
4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。
5．年金A的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B在1～10年，每年给付额为K元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K元，若A与B的现值相等，已知v 6． 化简a1010?1，计算K。 2?1?v10?v20? ，并解释该式意义。
7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。
8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k年的实际利率为
18?k，计算V(2)。
9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )
?1? A. ???3?1n?1? B. 3 C. ???3?1nn D.3
n 11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为度为1/(1+t),该年金的现值为（ ）
A.52 B.54 C.56 D.58
第三章：生命表基础 练习题
1．给出生存函数sx22500?t?1?2,t时刻的利息强
?x??e?，求：
(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。 (4)50岁的人能活到70岁的概率。
2. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q60。 3. 已知q80?0.07，d80?3129，求l81。
4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
5. 如果?x?22?,0≤x≤100, 求l0=10 000时，在该生命表中1岁到4岁之间x?1100?x的死亡人数为（ ）。
A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56
6. 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则
1|20q为（ ）。
A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005
第四章：人寿保险的精算现值 练 习 题
1. 设生存函数为s (1)趸缴纯保费ā?x??1?的值。
x (0≤x≤100)，年利率i=0.10，计算(保险金额为1元)： 100130:10 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。
2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算：
(1)该保单的趸缴纯保费。
(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？ 3. 设Ax （1） A?0.25, Ax?20?0.40, Ax:20?0.55, 试计算：
1x:20110 。 。
（2） Ax: 4． 试证在UDD假设条件下： (1) Ax:n (2) āx:n1?i?A1x:n 。
i?Ax:1?n?A1 。 x:n 5． (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，qx 6．
，A76?0.5,i?0,Var?z??0.1771 ，试求qx?1。
?0.8,D76?400,D77?360,i?0.03,求A77 。
7． 现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。
1年时段末给付1个单位的终身寿险，设k是自保单生效起m1存活的完整年数，j是死亡那年存活的完整年的时段数。
m 8． 考虑在被保险人死亡时的那个 (1) 求该保险的趸缴纯保费 Ax(m)。
(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明Ax(m)?ii(m)Ax 。
9． 现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。
10．年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R元。试求R值。
11． 设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：被保险人在70岁以前死亡，给付数额为3 000元；如至70岁时仍生存，给付金额为1 500元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。
12． 设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若(30)在第一个保单年计划内死亡，则在其死亡的保单年度末给付5000元，此后保额每年增加1000元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。
13． 某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单：
(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。
(2)1 000元储蓄寿险，被保险人生存n年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为800元。
若现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。
14． 设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。
15. 某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。其中，给定lx≤x≤110。利息力δ=0.05。Z表示保险人给付额的现值，则密度
?110?x,0
fx?0.8?等于（ ）
A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36
IA???IA?? 16. 已知在每一年龄年UDD假设成立，表示式
xxA
?( )
A.
i???21?i?? B.
2? C.
11i? D. d???i??1?? ??? 17. 在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( )
A. C.
第五章：年金的精算现值 练 习 题
1． 设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为
pxqxv2?b?e?2 B.
pxqxv2?b?e?2
pxqxv2?b2?e2? D. v2?b2qx?e2px?
f(t)?0.015?e?0.015t(t≥0)，利息强度为δ＝
0.05 。试计算精算现值 ax 。
2．设 ax（1）??10, ax?7.375, VaraT?50。试求：
2??；（2）āx 。
3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。 4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。
5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD假设和利率6%下，计算其精算现值。
6． 在UDD假设下，试证： (1)
n|ax(m)??(m)n|ax???m?nEx 。 ??(m)ax:n???m?(1?nEx) 。
(m)?ax?:n (2) a(m)x:n(m) （3）ax:n1(1?nEx) 。 m 7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
8． 试证： (1) (2)
(m)ax?(m)ax?:n?i(m)ax ax:n 。
?i(m) (3) limaxm??(m)?ax 。 1 。 2 (4) ax?ax? 9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金，缴付到64岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R。
10． Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 ax2?10，
ax?6，i?1 ，求Y的方差。 24 11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。
12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。
13. （ ）
A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82
(4)a??17.287，Ax?0.1025。已知在每一年龄年
UDD假设成立， 则ax是
(4)