西安交通大学硕士研究生2003年入学考试《数学分析与线性代数》试题
1. (每小题8分)计算下列各题:
⑴求极限lim(sinx?cosx).
x?01x⑵设f(x)??dt?0xx1e??2d?,求f?(x)及f(x).
2. (每小题8分)设f(x)在(a,b)内可导,证明:
⑴?x0?(a,b),f?(x)在x0处不可能发生第一类间断点; ⑵当f(x)在(a,b)内单调时,f(x)必在(a,b)内连续.
3. (16分)设f(x)在有界区间(a,b)内一致连续,证明f(x)在(a,b)内有界.又当(a,b)无界时,结论
是否仍然成立?对你的结论给出证明或例子.
4. 设f(x)在[a,b]上可积,证明存在折线函数列??n(x)?n?1,使得lim5. (16分)证明函数项级数
?n??a?b?n(x)dx??f(x)dx.
ab?(1?x)xn?1?n在[0,1]上处处收敛, 但非一致收敛.
1?xysin,x2?y2?0，?6. (每小题7分)设f(x,y)?? x2?y2?0,x2?y2?0.?⑴讨论f(x,y)在(0,0)处的连续性,偏导数存在性； ⑵若偏导数存在,讨论其在(0,0)处的连续性；
⑶讨论f(x,y)在(0,0)处的可微性,若可微,求出df(0,0). 7. (15分)计算并化简下述n阶行列式:
x3?11
x3x3?11x3??x3x3?11
x3?1????x3?1(式中没有写出的元素均为零).
?????????????????3338. (15分)设T为R?R的映射,对任意的????R,有T?????????,其中R表示实数域.
?????????????????⑴证明T为线性变换;
⑵求T的象空间(或值域)?(T)及零空间?(T)的基底与维数.
?6?12?35??1?06??00?2?, B??9. ⑴(10分)已知矩阵A???00?03?1????0002???0 求方程3A?AX?6B?0中的X??.
031?12?1?? 0?23??00?3?⑵(10分)设A为3阶方阵,A2?I3,A?I3且A??I3(其中I3为三阶单位阵).试证A?I3与
A?I3中必有一个的秩数为1.