2010级计算机应用技术专业研究生《随机过程》课程试题
1 设电话总机在(0，t)内接到电话呼叫数X(t)是具有强度(每分钟)为?的泊松过程，求 (1) 两分钟内接到3次呼叫的概率；
(2) “第二分钟内收到第三次呼叫”的概率。
2 设到达某路口的绿、黑、灰色汽车的到达率分别为?l，?2，?3，且均为怕松过程，它们相互独立。若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度，无延时)，求 (1) 相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度； (2) 汽车之间的不同到达时刻的间隔概率密度。
3 某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加，在8时顾客平均到达率为5人／时，11时到达率达最高峰20人／时。从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人／时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30一9：30问无顾客到达商店的概率是多少?在这段时间内到达商店的顾客数的数学期望是多少? 第3章26
4 设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居，即?＝2。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一户二人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。
5 已知随机游动的转移概率矩阵为
?0.50.50??
P??00.50.5????0.500.5??求三步转移概率矩阵P(3)及当初始分布为
P?X0?1??P?X0?2??0，P?X0?3??1
时，经三步转移后处于状态3的概率。
6 已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：
?0.80.10.1???T(1) P(0)?(0.4,0.2,0.4)，P?0.10.70.2；
????0.20.20.6???0.7?0.1(2) PT(0)?(0.2,0.2,0.3,0.3)，P???0.1??0.1求下一、二个月的销售状态分布。
0.10.60.10.10.10.20.60.20.1?0.1??； 0.2??0.6?
7 某商品六年共24个季度销售记录如下表(状态l一畅销，状态2一滞销) 季度 销售状态 季度 销售状态 1 1 13 1 2 1 14 1 3 2 15 2 4 1 16 2 5 2 17 1 6 2 18 1 7 1 19 2 8 1 20 1 9 1 21 2 10 2 22 1 11 1 23 1 12 2 24 1 以频率估计概率。求(1)销售状态的初始分布；(2)三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态分布。
8 设老鼠在下图所示的迷宫中作随机游动．当它处在某个方格中有k条通道时．以概率1/k随机通过任一通道．求老鼠作随机游动的状态空间、转移概率矩阵及状态空间可分解成几个闭集。
1 6 7
2 5 8
3 4 9
9 艾伦菲特斯(Erenfest)链。设甲乙两个容器共有2N个球，每隔单位时间从这2N个球中任取一球放入另一容器中，记Xn为在时刻n甲容器中球的个数，则{Xn, n>=0}是齐次马尔科夫链，称为艾伦菲特斯链。求该链的平稳分布。
10 设河流每天BOD(生物耗氧量)浓度为齐次马尔可夫鲢，状态空间I={1．2，3，4}是按BOD浓度为极低、低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵(以一天为单位)为
?0.5?0.2P???0.1??00.40.10?0.50.20.1??【见笔记】 0.20.60.1??0.20.40.4?若BOD浓度为高，则称河流处于污染状态。 (1) 证明该链是遍历链； (2) 求该链的平稳分布；
(3) 河流再次达到圬染的平均时间?4。
11 设连续时间马尔科夫链?X(t),t?0?具有转移概率
??ih?o(h),j?i?1,?1??h?o(h),j?i,?ipij(h)??
0,j?i?1,???o(h),j?i?2,X(t)表示一个生物群体在时刻t的成员总数。其中?i是正数，求柯尔莫哥洛夫方程、转移概率pij(t)。
(提示：利用以下结果，若g?(t)?kg(t)?h(t)，k为实数，h(t)为连续函数，a?t?b，则
g(t)??e?k(t?s)h(s)ds?g(a)e?k(t?a)。)
at
12 一质点在1．2，3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在[t, t+h)内，它以概率
1h?o(h)分别转移到其它二点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫方程、转移概率pij(t)及2平稳分布。
13 设某车间有M台车床．由于各种原因车床时而工作，时而停止．假设时刻t，一台正在工作的车床，在时刻t+h停止工作的概率为?h?o(h)，而时刻t不工作的车床，在时刻t+h开始工作的概率为?h?o(h)，且各车床工作情况是相互独立的。若N(t)表示时刻t正在工作的车床数。求 (1)齐次马尔可夫过程?N(t),t?0?的平稳分布；
(2)若M?10,??60,??30，系统处于平稳状态时有一半以上车床在工作的概率。
14 排队问题。设有一服务台，[0,t)内到达服务台的顾客数是服从泊松分布的随机变量，即顾客流是泊松过程。单位时间到达服务台的平均人数为?。服务台只有一个服务员．对顾客的服务时间是按指数分布的随机变量，平均服务时间为1/?。如果服务台空闲时到达的顾客立即接受服务；如果顾客到达时服务员正在为另一顾客服务，则他必须排队等候；如果顾客到达时发现已经有二人在等侯，则他就离开而不再回来。设X(t)代表在t时刻系统内的顾客人数(包括正在被服务的顾客和排队等侯的顾客)，该人数就是系统所处的状态。于是这个系统的状态空间为I＝{0，1，2，3}；又设在t=0时系统处于状态0，即服务员空闲着。求过程的Q矩阵及t时刻系统处于状态j的绝对概率pj(t)所满足的微分方程。
15 一条电路供m个焊工用电，每个焊工均是间断用电。现作如下假设|： ① 若一焊工在t时用电，而在(t，t+Δt)内停止用电的概率为?Δt+o(Δt)； ② 若一焊工在t时没有用电，而在(t，t+Δt)内用电的概率为?Δt+o(Δt)。 每焊工的工作情况是相互独立的。设X(t)表示在t时正在用电的焊工数。 (1) 求该过程的状态空间和Q矩阵；
(2) 设X(0)＝0，求绝对概率pj(t)满足的微分方程； (3) 当t→∞时，求极限分布pj。
16 设[0，t)内到达的顾客服从泊松分布，参数为?t。设有单个服务员，服务时间为指数分布的排队系统(M／M／1)，平均服务时间为l/?．试证明：
(1) 在服务员的服务时间内到达顾客的平均数为?/?；
(2) 在服务员的服务时间内无顾客到达的概率为?／(?+?)。