简单六方结构二维光子晶体能带的COMSOL模拟
北京东之星应用物理研究所
伍勇 1.引言
COMSOL携带的案例库里，其中一篇
?2. 关于 Floquet (弗洛盖） 波矢kF
这是入门COMSOL光子晶体能带模拟的重要概念，在另一案例
??????i(k?d)由此我判断Floquet 波矢就是Bloch（布p(x)?p(x?d)e洛赫）波矢,但“帮助”文档中有：
?????kF?ksin?1(a1cos?2?n?a1sin?2)，以正格子基矢a1,a2表示
（其文没有任何几何插图和物理说明），使我决定必须在六方格子中选择矩形单胞作为周期单元，以使计算机程序能够运行我的几何方案。 3.几何建模
图1作为试探选择的几何模型，圆形柱代表以GaAs作为格点材料，
在空气介质中周期性排列，形成二维六方结构人造晶体。 a是晶格常数。 ?a1?a?a2?3aia2x0???a2?a3b1?2?????2?a1?(a2?a3)3aa???a3?a1b2?2????a1?(a2?a3)?? z是z方向的单位
矢量 图1.六方格子光子晶体的矩形单胞 b2及其分量。以上根据倒格子基矢定义计算出b1，由倒格子基矢 b1，b2 ，构建长方格子的布里渊区也是长方结构如图2：
MkyKkx?
图2.六方结构光子晶体的布里渊区
4.二维光子晶体主方程
COMSOL在< Bandgap > “模型开发器” [电磁波，频域] 写出方程形式如下：
??12 ???r(??E)?k0(?rj???)E?0，
??0 在< Bandgap >中，下面目录 [波方程，电] 中直接简化为，
?2? ??(??E)?k0?rE?0
电磁波在光子晶体中的传播遵从麦克斯韦方程，上述方程可由麦克斯韦方程组出发导出 介质中的麦克斯韦方程组
?? ??D??(1) ??B?0(3)
?????B???D(2) ??H?J?(4) ??E??t?t?????? D??E，B??H，J??E
在电介质中一般认为自由电荷，自由电流密度（电导率）为零。
?本文档不考虑磁性质，??0，J?0，?r?1
传播模态电场函数
COMSOL
表达为：
???ikzzi?tE(x,y,z,t)?E(x,y)ee(5)，
在周期结构中，它应具有Bloch波的性质，不考虑衰减损耗。注意这里次上标的符号与我们习惯的教科书里正负符号相反。
由(2)两端取旋度，将（4）代入得：
??E22 ??(??E)???? ， 绝缘介质k????，
?t22?k2??2?0?r?0?r??222?r?r?k0n， 2c0c????r?r 折射率n??v?0?0，
?r?1 ?r?n2，
k0???0?0??c0 为真空波数，应用（5），
如期得到前面提到的< Bandgap >中的假设波方程：
?22? ??(??E)?k0nE?0 ??2?2? 利用 ??(??E)??(??E)??E???E
E偏振时（又称横磁场模式TM）对应的二维光子晶体主方程是： (?2?x2??2?y22)Ez(x,y)?n2k0Ez(x,y)?0(6) 这里电场方
向平行于z轴，而磁场方向只分布在x-y平面内。
二维光子晶体主方程 (6)是计算光子能带的出发点和源依据。 5.折射率色散函数n(f)
n(f)是COMSOL计算能带的第二个关键点，描述折射率随频率参量f的变化。格点材料砷化镓的n(f)，在< Bandgap >有如下定义
n_GaAs=3.3285e5[s/ m]*c_const/f+3.5031，参变量f,单位Hz；下限：0，上限：1
c_const?299792458[m/s]表示真空光速，我在软件
Mathematica 上化简这个函数，给出
n_GaAs?3.5031?9.97884*10^13/f，并绘制图3如下：
1.2?10151.0?10158.0?1014sn_GaA6.0?10144.0?10142.0?10140.00.20.4f0.60.81.0 图3.光子晶体GaAs的折射率随频率的变化
经COMSOL计算机程序进行求解，得到E偏振情况下2D介质（GaAs)光子晶体能带结构。
6.光子能带图（选取能量最低的5个能带） (1)沿布里渊区 [10]方向(??K) (图2): (2)沿布里渊区 [01]方向(??M):