等腰直角三角形中的常用模型
一【知识精析】
1、等腰直角三角形的特征：
①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45o） ②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。 2、等腰直角三角形与全等三角形：
以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。
模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点
（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
DE AAA
E D BBBCCCE
(1)(2)(3)
例1．如图：RtΔABC中，∠BAC=90o，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD
于点E，过C作CF⊥AD于点F。 （1）求证：BE-CF=EF；
（2）若D在BC的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新
的结论并证明。 EAA EF
BCBDC D(2)(1)F
如图1，等腰Rt△ABC中，AB=CB，∠ABC=90o，点P在线段BC上（不与B、C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E，连CQ交AB于M。
（1）求证：M为BE的中点
（2）若PC=2PB，求
PC的值 MB
（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
F ADA
FE
D
BBC C (1)(2)E3、如图：RtΔABC中，∠BAC=90o，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，交AC于点G，过C作CF⊥AC交AD的延长线与于点F。 （1）求证：BG=AF；
（2）若D在BC的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。 GEAA
G
EF
BCBDD C(2)(1)
F
变式1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45o，∠BAC=90o，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD
于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.
变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。
变式3：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F连接DF，求证：∠1=∠2。
模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形 EAA
D
E F
BCBCFD(2)(1)例1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠ADB＝45°。
变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，点D为BE延长线上
一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。
变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD
⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延长线于点M，
BMAM（1）求AB?BC的值；（2）求BC?AB的值。
模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点
（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形： E AEAEAD
DB(1)CBDC(2)B(3)C
例1、如图1，△ABC、△BEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠BEF=90o，连接AF、CF，
M是AF的中点，连ME，将△BEF绕点B旋转。猜想CF与EM的数量关系并证明；
B E FM
AC 图（1）（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形： AAEA DED
D
CB BBCC (1)(2)(3)E
（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形： AAAD
FD EF DEFCC BCBB(2)(1)(3)E
如图，△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BED=90o。把DE平移到CF，使E与C重合，连接AE、AF，则△AEB与△AFC全等（关键是利用平行证明∠ABE=∠ACF）
例.如图：两个直角三角形ABC、ADE的顶点A重合，P是线段BD的中点，连PC、PE。 （1）如图1，若∠BAC=∠DAE=45°，当A、C、D在同一直线上时，线段PC、PE的关系是 ；
（2）如图2、3，将⊿BAC绕A旋转α度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。 EEE
B BB
CPP PCA DACDAD图3 图1图2
三【巩固练习】 1．如图，在Rt?ABC中，AB?AC,∠BAC?90?,D、E为BC上两点，∠DAE?45?，F为?ABC外一点，且FB⊥BC,FA?AE,则下列结论：①CE?BF;②
BD2?CE2?DE2;③S?ADE?A、①②③④ C、①③④
1AD?EF;④CE2?BE2?2AE2,其中正确的是 4A
F
B、①②④
D、②③
B D E
2．已知：Rt⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若O是BC的中点，以O为顶点作∠MON，交AB、AC于点M、N。 （1）若∠MON=90°（如图1），求证：①OM=ON；②BM2+CN2=MN2； A
M
BO
图1（2）若∠MON=45°（如图2），求证：①AM+MN=CN；
AN
M
BO
图23、如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。
（1）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；
（2）过A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG
C
NCC