等比数列测试题
A组
一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在等比数列{an}中，a3?20,a6?160，则an= ．
1．20×2.提示：q3=
n-3
160n-3
=8,q=2.an=20×2. 209122.等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数n等于 .
8331922.4. 提示：=×（）n-1,n=4.
3833.在等比数列中，an>0，且an?2?an?an?1，则该数列的公比q等于 . 3.1?51?5.提示：由题设知anq2=an+anq,得q=. 224.在等比数列{an}中，已知Sn=3n+b，则b的值为_______．
－4.b=-1.提示：a1=S1=3+b，n≥2时，an=Sn－Sn－1=2×3n1．
－
an为等比数列，∴a1适合通项，2×311=3+b，∴b=－1． 5.等比数列?an?中，已知a1?a2?324，a3?a4?36，则a5?a6=
5.4.提示：∵在等比数列?an?中, a1?a2,a3?a4,a5?a6也成等比数列,∵
a1?a2?324，a3?a4?36∴a5?a6?36?36?4. 3241的等比数列，36.数列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为1、公比为
则an等于 。
11336．（1－n）.提示：an=a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）=（1－n）。
22337.等比数列1,2a,4a,8a,?的前n项和Sn= . 231?n,a?,??27. Sn??。提示：公比为q?2a， n1?(2a)1?，a??2?1?2a当q?1，即a?1时，2a?1,Sn?n; 21?(2a)n1当q?1，即a?时，2a?1，则Sn?.
1?2a28. 已知等比数列?an?的首项为8，Sn是其前n项和，某同学经计算得S2?24，S3?38，
S4?65，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__________，该数列的公
比是________.
3。提示：设等比数列的公比为q，若S2计算正确，则有q?2，但此时23S3?38,S4?65，与题设不符,故算错的就是S2,此时, 由S3?38可得q?,且S4?65也
28.S2；
正确.
二．解答题(本大题共4小题，共54分)
9.一个等比数列?an?中，a1?a4?133，a2?a3?70，求这个数列的通项公式。
3?25?a1?a1q?1339．解：由题设知?两式相除得， q?或252??a1q?a1q?70代入a1?a4?133，可求得a1?125或8，
?2??an?125???5?n?1?5?或an?8???2?n?1
10.设等比数列?an?的前n项和为Sn,S4=1,S8=17,求通项公式an.
解 设?an?的公比为q，由S4=1,S8=17知q≠1,
?a1(1?q4)?1,??1?q∴?解得
8?a1(1?q)?17,??1?q1?1??a1??a1??15或?5。 ????q?2?q??22n?1(?1)n?2n?1∴an=或an=。
51511.已知数列?log2xn?是公差为1 的等差数列，数列?xn?的前100项的和等于100，求数列
?xn?的前200项的和。
11.解：由已知，得log2xn?1?log2xn?1，?xn?1?2， xn所以数列?xn?是以2为公比的等比数列，设?xn?的前n项和为Sn。
x1(1?2100)100则S100==x1(2?1)，
1?2
x1(1?2200)100100200S200==x1(2?1)= S100?1?2?=100??1?2?
1?2故数列?xn?的前200项的和等于100?1?2?100?。
12.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an?0，a1为常数，且?a1、Sn、an?1成等差数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn?1?Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值； 若不存在，请说明理由．
?2Sn?an?1?a112.解：（Ⅰ）依题意，得2Sn?an?1?a1．于是，当n?2时，有?．
2S?a?an1?n?1两式相减，得an?1?3an（n?2）．
又因为a2?2S1?a1?3a1，an?0，所以数列{an}是首项为a1、公比为3的等比数列． 因此，an?a1?3n?1（n?N?）；
a1(1?3n)1111（Ⅱ）因为Sn??a1?3n?a1，所以bn?1?Sn?1?a1?a1?3n．
1?322221要使{bn}为等比数列，当且仅当1?a1?0，即a1??2．
2备选题：
1.已知在等比数列?an?中，各项均为正数，且a1?1,a1?a2?a3?7,则数列?an?的通项公式是an?_________。
1.2n?1。提示：由a1?1,a1?a2?a3?7,得q?q?6?0?q?2,?an?22n?1。
2．在等比数列?an?中, 若a3?3,a9?75,则a10=___________.
2. ?7533。提示：q?25,q??35,a10?a9?q??7535。 3.设数列{an}的前项的和Sn=比数列。
61（an-1） (n?N+),（1）求a1;a2; (2)求证数列{an}为等311(a1?1),得a1?(a1?1) 331111 ∴a1?? 又S2?(a2?1),即a1?a2?(a2?1),得a2?.
33423.解: (Ⅰ)由S1?
(Ⅱ)当n>1时,an?Sn?Sn?1? 得
11(an?1)?(an?1?1), 33an111??,所以?an?是首项?,公比为?的等比数列. an?1222B组
一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1.正项等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则S4= 。
1．28提示：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，即（S4－7）2=7（91－S4），解得S4=28或－21（舍去）． 2.三个不同的实数a,b,c成等差数列，且a,c,b成等比数列，则a:b:c? _ 。 2. 4:1:(?2)。提示：a?c?2b,c?2b?a,ab?c?(2b?a),a?5ab?4b?0 a?b,a?4b,c??2b。
3.在等比数列{an}中，已知n∈N*，且a1+a2+…+an=2n－1，那么a12+a22+…+an2等于 。
22221－（4n－1）。提示：由Sn=2n－1，易求得an=2n1，a1=1，q=2，∴{an2}是首项为1，31公比为4的等比数列， a12+a22+…+an2= （4n－1）。
33.
4. 设数列{an}中前n项的和Sn?2an?3n?7，则an=________.
解析 当n?1时,a1?S1?2a1?3?7?a1?4
当n?2时,an?Sn?Sn?1?(2an?3n?7)?[2an?1?3(n?1)?7]?2an?2an?1?3
?an?2an?1?3?an?3?2(an?1?3)即{an?3}成等比数列,其首项是a1-3?4-3=1,公比是2?an?3?1?2n?1?2n?1?数列{an}的通项公式是an?2n?1?3
5.已知函数f(x)?cosx,x?(?2,3?)，若方程f(x)?a有三个不同的根，且从小到大依次
成等比数列，则a= 。 5.?1。提示：设最小的根为?，结合余弦函数的图像可知则另两根依次为 22?2?12，??cos2???,2???，所以?2????????2????， 解得????。 3326.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：
1 2 3 4 5 6 ……. 十进制 1 10 11 100 101 110 …….. 二进制 观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数能表示十进制中最大的数是 6.63.提示：
1?1?20,2?0?20?1?21,3?1?20?1?21,4?0?20?0?21?1?22,5?1?20?0?21?1?22,6?0?20?1?21?1?22,进而知7?1?20?1?21?1?22写成二进制为:111于是知二进制为
06位数能表示十进制中最大的数是
1234526?1111111化成十进制为:1?2?1?2?1?2?1?2?1?2?1?2??63。
2?1二．解答题(本大题共2小题，共36分) 7． 数列{an}满足：a1?1,a2?331,an?2?an?1?an(n?N*). 222（1）记dn?an?1?an，求证：{dn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式；
（3）令bn?3n?2，求数列{an?bn}的前n项和Sn。 （1）a1?1,a2?又an?2331,?a2?a1??1? 22211?an?1?an?1?an。
22?an?2?an?111?,即dn?1?dn
an?1?an22故数列{dn}是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）得
12121dn?an?1?an?()n
2?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?...?(a2?a1)?a1111?()n?1?()n?2?...?()1?12221?2?()n?12 （3）?bn?3n?2令cn?an?bn?(3n?2)?[2?()
12n?11]?(6n?4)?(3n?2)?()n?1
2?Sn?2?[1?4?7?...?(3n?2)]?[1?1111?4??7??...?(3n?2)?]02n?12222
111?(3n?1)n?[1?4?1?7?2?...?(3n?2)?n?1]222